Ajuste del rectángulo dentro de otro rectángulo en diagonal

Question

Teniendo el siguiente caso, donde queremos encajar un rectángulo (c, d) dentro de otro rectángulo (a, b). Sabemos que c > b o d > a por lo que no encajará horizontalmente, entonces necesitamos verificar si encajará diagonalmente.
Ejemplo:
¿Cuál sería la condición para verificar si el rectángulo (c, d) encajará en (a, b) o no?

Gracias de antemano,

Answer 1

Sea $l=\sqrt{c^2+d^2}$ la diagonal del rectángulo interno y $\phi=\sin^{-1}\frac{c}{l}=\sin^{-1}\frac{d}{l}$ el ángulo entre la diagonal y un lado. Sea $\alpha$ el ángulo entre $a$ y $c$. Entonces las condiciones necesarias y suficientes para que el rectángulo interno esté dentro del externo son $$\begin{align} a & \ge l\sin(\alpha+\phi) \\ b & \ge l\cos(\alpha-\phi) \end{align}$$ Supongamos que $a

Answer 2

Sea $2a\geq2b$ y $2c\geq2d$ las longitudes de los dos rectángulos, y ponga $f:=\sqrt{c^2+d^2}$.

Cuando $R_{cd}\subset R_{ab}$ puede ser realizado, entonces se puede hacer con el centro común $M.

Una condición necesaria para tal inclusión es que $d\leq b$, porque de lo contrario $R_{cd}$ contiene un disco de radio $d>b$, que no puede ser cubierto por $R_{ab}$. Si $c\leq a$ también entonces $R_{cd}$ puede ser incrustado en $R_{ab}$ con lados alineados.

Por lo tanto, es necesario considerar el caso $c>a\geq b\geq d$, que se muestra en la siguiente figura.

Los lados cortos de $R_{cd}\subset R_{ab}$ son tangentes al círculo (mostrado en azul) con radio $c>a$ y centro $M$. Este círculo interseca $R_{ab}$ en cuatro arcos que cortan los vértices de $R_{ab}$. Se sigue que los dos lados más cortos de $R_{cd}$ se encuentran en dos regiones de esquina opuestas de $R_{ab}$. Considere un lado así. Sus extremos se encuentran en un arco similar de un círculo con radio $f$ y centro $M$. Por lo tanto, la longitud $2d$ de este lado es a lo sumo igual a la distancia $|PQ|$ en la figura. Esto significa que tenemos $$(2d)^2\leq \left(b-\sqrt{f^2-a^2}\right)^2+\left(a-\sqrt{f^2-b^2}\right)^2\ .$$ Expresando $f$ en términos de $c$ y $d$, y simplificando, obtendrá la condición que estaba buscando.