Fijar un modelo de $M$ de una teoría para el que tiene sentido hablar de $\omega$ ($M$ no necesita ser un modelo de la teoría de conjuntos, incluso podría ser simplemente un conjunto ordenado, con un mínimo en el que cada elemento tiene un inmediato sucesor y cada elemento el mínimo que tiene un predecesor inmediato; en este caso se podría identificar a $\omega^M$ $M$ sí).
Decimos que $\omega^M$ no es estándar si y sólo si (por definición) $\omega^M$ no es un orden-isomorfo a $\omega$.
Por inducción (en el ambiente teoría) hay un único orden de la incrustación de la (verdadera) $\omega$ a un único segmento inicial de $\omega^M$. Que $\omega^M$ no es estándar por lo tanto significa, precisamente, que esta inclusión es no surjective. Si $k$ es un elemento de $\omega^M$ no en su rango, su predecesor inmediato no es también en la gama, y de ello se sigue que $\omega^M$ es infundada. (Por el contrario, si $\omega^M$ es infundada, obviamente no es el fin de isomorfo a $\omega$.)
La identificación de los elementos de la gama, con su preimages, esto nos da su condición 2 (sin necesidad de tener una $+$ operación en la estructura; naturalmente, si su $M$ es tal que podemos hablar de la $+$ $\omega^M$ y esperar a satisfacer básicos de las propiedades de primer orden de la $+$ de los verdaderos $\omega$, entonces la imagen de cualquier $n\in\omega$ bajo la incrustación de que estamos discutiendo es, precisamente, el ${\mathbf n}$ de su formulación de la condición 2).
Por otro lado, la condición 3 ( $\omega^M\ne\omega$ ) es demasiado fuerte es un requisito, ya que normalmente nosotros sólo nos preocupamos de las estructuras hasta el isomorfismo. Es cierto que, como Asaf, señaló en un comentario, que en algunas (pero no todas) de las situaciones podemos identificar el bien fundado de parte de un modelo con su colapso transitivo (en el sentido dado a $M$ que efectivamente reemplazarlo con un isomorfo $M'$ obtenido por la sustitución de la bien fundada de parte de $M$, como se indica, y luego proceder a discutir $M'$ exclusivamente en vez de $M$). Si este es el caso, entonces sí, por supuesto, la condición 3 también es equivalente a los de otras condiciones.
Pero tenga en cuenta que incluso en el contexto de la teoría de conjuntos, incluso cuando se considera fundados los modelos, hay circunstancias naturales cuando queremos hablar de los modelos que no son transitivas. Por ejemplo, es común que en infinitary combinatoria para argumentar acerca de primaria subestructuras $M$ (algunos segmentos iniciales de) el universo. Estas estructuras son automáticamente bien fundada, pero no desea reemplazarlos con sus transitiva contrapartes. (También es cierto, sin embargo, que en este ejemplo concreto $\omega^M=\omega$, pero espero que el punto está claro.)
