¿Cuándo implica la inyectividad la subjetividad?

Question

Soy consciente de la existencia de esta pregunta: Surjectivity implica la inyectividad

Sin embargo, la pregunta es con respecto a un conjunto finito $S$. Me preguntaba: ¿Qué sucede cuando $S$ es un conjunto infinito? Zhen Lin direcciones de estos casos en su respuesta, diciendo que deje de ser necesariamente cierto, por ejemplo, $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ definido por $x \mapsto x+1$ es inyectiva pero no surjective.

Mi pregunta es: ¿qué sucede si $S = \mathbb{R}$? La construcción de un contraejemplo para $S=\mathbb{N}$ parece bastante simple, pero estoy luchando por encontrar una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ eso es inyectiva pero no surjective. Hace una función siquiera existen? Si es así, cómo se construye?

Y quizás una pregunta más general (quizá demasiado amplio): Para que conjuntos infinitos $S$ hay una función de $f:S\rightarrow S$ tal que $f$ es inyectiva pero no surjective?

Answer 1

$f(x)=\arctan x$, por ejemplo, es inyectivo pero no es sobreyectivo.

Answer 2

Para tu segunda pregunta, vamos a $S$ ser un conjunto infinito y $f:S\to S$ ser de cualquier inyección. A continuación, corregir algunos $x_0$$S$. Entonces, desde el $S$ es infinito, $|S|=|S\setminus\{x_0\}|$ ($|A|$ es el cardinal de un conjunto $A$), de modo que existe un bijection $\phi$ $S$ a $S\setminus\{x_0\}$. A continuación, $\phi\circ f$ visto como una aplicación de $S$ a $S$ es inyectiva pero no surjective.

Nota: la definición habitual de los cardenales requiere el Axioma de Elección. No necesitamos toda la teoría de los cardenales de aquí, pero yo no se si AC es necesario o no.