¿Cómo ver que las funciones propias forman una base para el espacio de funciones?

Question

Tenemos una Sturm-Liouville operador $$ L=\frac{1}{w(x)}\left[\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{d}{dx}\right)+q(x)\right] $$ y considerar $$ \frac{\partial c}{\partial t}=Lc, $$ con condiciones de contorno homogéneas.

Si ahora estamos en la búsqueda de soluciones, la técnica es comenzar con la consideración de la ecuación homogénea, es decir,$q(x)=0$, y resuelve el Autovalor problema $$ L\Phi=\lambda\Phi. $$ Hay funciones de $\Phi$ llamadas funciones propias - que resolver este autovalor problema, que existe desde $L$ es auto-adjunto en fase homogénea las condiciones de contorno. Las funciones propias son ortogonales.

Por otra parte, las funciones propias $\Phi$ forma una base para el espacio que consta de funciones que satisfacen las condiciones de frontera, lo que significa que cualquier función puede ser expresada como una combinación lineal de las funciones propias. Así podemos encontrar las soluciones de la ecuación no homogénea por lo que el enfoque $u(x,t)=\sum_n A_n\Phi_n$, poner esto en la ecuación y determinar las constantes.

Mi pregunta es cómo puede uno mostrar/ ver que las funciones propias de formar una base de la función espacio que consta de las funciones que satify las condiciones de frontera.

Más precisamente, creo, la función de espacio para que las funciones propias de formar una base que se supone que la función del espacio que contiene todas las funciones que

(i) son de cuadrado integrable con respecto a la función peso $w$ y

(ii) cumplir con las condiciones de frontera.

No sabemos exactamente si realmente necesitamos (i).

Wikipedia dice que el ajuste apropiado es el espacio de Hilbert $L^2([a,b], w(x)dx)$, y que en este espacio, $L$ se define suficientemente suave funciones que satisfacen las condiciones de frontera.

De todos modos: ¿Cómo mostrar/ ver que las funciones propias de formar una base?

Answer 1

Hay otras condiciones que usted necesita con el fin de garantizar una discreta base $\{ \Phi_1,\Phi_2,\Phi_3,\cdots \}$. Un caso típico que conduce a la discreta autovalores y transformadas de Fourier de las expansiones sería el caso en que (a) $p$ es continuamente derivable y estrictamente positiva en $[a,b]$, (b) $w$ es continua y estrictamente positiva en $[a,b]$, y (c) $q$ es absolutamente integrable en $[a,b]$. Cuando imponer homogénea extremo de las condiciones de la forma $$ \cos \alpha f(a)+\sin\beta f'(a) = 0, \\ \cos \beta f(b) + \sin\beta f'(b) = 0, $$ para algunos de los verdaderos $\alpha,\beta$, entonces no es una secuencia infinita de valores propios $$ \lambda_0 < \lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n <\cdots, $$ que tiende a $\infty$ para que soluciones no triviales de $Lf_j = -\lambda_j f_j$ existen y que satisfagan las condiciones de homogeneidad; y el espacio de la solución es de una dimensión para cada una de las $j$. Estas funciones propias $\{ f_j \}$ son mutuamente ortogonal y, cuando está normalizado, el conjunto $\{ f_j \}$ es una completa base ortonormales de $L^2_w[a,b]$.

La convergencia de la serie de Fourier generalizada para $f \in L^2_w[a,b]$ converge en la norma de $L^2$$f$. No se obtiene necesariamente tal convergencia si $f \in L^1_w[a,b]$ lugar; la insuficiencia de convergencia en $L^1_w[a,b]$ se produce por la más simple clásica de Fourier caso $q=0$, $w=1$, $p=1$.

Una prueba de estos hechos no es corta. No puede ser trivial, ya que el caso más simple incluye la clásica serie de Fourier.

Referencia: M. A. Al-Gwaiz, Sturm-Liouville Teoría y sus Aplicaciones, 2008. (Springer-Verlag De Pregrado De La Serie). Prestar especial atención al Capítulo 2.