Series de potencias de$1/(1+x^2)$ alrededor de una arbitraria

Question

He estado tratando de demostrar que$f(x)=1/(1+x^{2})$ tiene una expansión de la serie de potencia alrededor de cualquier punto$a\in\mathbb{R}$.

Si$a=0$ entonces puedo ver que para$\left|x\right|<1$ (st$\left|x^{2}\right|<1$) tenemos$1/(1+x^{2})=1/(1-(-x^{2}))=\sum(-x^{2})^{k}$.

¿Hay una estrategia similar de simplificación a una serie geométrica para$a\in\mathbb{R}$% en general? ¿O hay otras formas inteligentes de atacar el problema?

Estaría muy agradecido por cualquier respuesta o sugerencia sobre cómo proceder.

Answer 1

Primer uso de fracción parcial como

PS

Luego encontramos la serie de Taylor en el punto$$ \frac{1}{(1+x^2)} = \frac{1}{2}\frac{1}{x+i} -\frac{1}{2} \frac{1}{x-i}. $ como

PS

Haga la otra y luego intente simplificar las cosas y tendrá una buena representación de la serie.

Answer 2

Sin entrar en los números complejos...

Dejando $u=x-a$, tenemos:

$$\frac{1}{1+x^2} = \frac1{1+a^2+2au+u^2}= \frac 1{a^2+1}\frac{1}{1+\frac{2au+u^2}{a^2+1}}$$

A continuación, expanda $\frac{1}{1+v}=\sum (-v)^k$$v=\frac{2au+u^2}{a^2+1}$.

Que le da un lugar sucio fórmula. El coeficiente de $(x-a)^n$ va a ser recibido por encontrar el coeficiente de $u^n$ en $$\left(-\frac{2au+u^2}{1+a^2}\right)^i$$ for $\lceil n/2\rceil \leq i \leq n$ combine them. That's the $n-i$ coeficiente de

$$\left(-\frac{2a+u}{1+a^2}\right)^i$$

Que es $$\binom{i}{n-i}(2a)^{2i-n}\left(\frac{-1}{a^2+1}\right)^i$$

Por lo que el $n$th coeficiente es (porque teníamos el adicional $\frac{1}{a^2+1}$ fuera de la suma:

$$\sum_{i=0}^n (-1)^i\frac{\binom{i}{n-i}(2a)^{2i-n}}{(a^2+1)^{i+1}} =\frac{1}{(1+a^2)^{n+1}}\sum_{i=0}^n (-1)^i\binom{i}{n-i}(2a)^{2i-n}(1+a^2)^{n-i}$$

Tenga en cuenta que podemos ir de $0$ $n$porque cuando $i<\lceil n/2\rceil$, $n-i>i$ y el coeficiente evalúa a cero.

Answer 3

Dado que la ciencia dio una buena respuesta formal y general, sin duda, la siguiente no es una respuesta completa a la pregunta.

Aplicando las definiciones (y siendo paciente), podría mostrar que la expansión de Taylor alrededor de$x=a$ escribe como$$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nP_n(a)}{(1+a^2)^{n+1}}(x-a)^n$$ with $$P_0(a)=1$$ $$P_1(a)=2a$$ $$P_2(a)=3a^2-1$$ $$P_3(a)=4a^3-4a$$ $$P_4(a)=5a^4-10a^2+1$$ $$P_5(a)=6 a^5-20 a^3+6 a$$ $$P_6(a)=7 a^6-35 a^4+21 a^2-1$$ in which some patterns seem to appear (different for odd and even values of $ n $).