Demostrando desigualdades sobre aproximación integral.

Question

Podemos afirmar que, con$n$ entero,

PS

porque el segundo es el área de$$\int_1^n \log x \ \mathrm{dx} \leq \sum_{m = 1}^n \log m$ rectángulos con base de unidad, mientras que el primero es "solo" el área debajo de la función.

1) ¿Cómo se puede probar analítica o geométricamente?

2) ¿Se puede afirmar esto en otro caso? Suponiendo que$n$ es integrable, ¿es siempre cierto que

PS

?

¿O cuáles son las condiciones bajo las cuales eso es verdad?

Answer 1

$$\large \underline{\texttt{Analytic Proof}}$$

Observar que $\log{x}$ es cada vez mayor.$(1)$

Observar que

$$\int\limits_{1}^{n}{\log x\, dx}=\int\limits_{1}^{2}{\log x \, dx}+\int\limits_{2}^{3}{\log x\, dx}+\cdots +\int\limits_{n-1}^{n}{\log x\, dx} \tag{2}$$

Para una función integrable $f$ si $f(x)\le M \quad \forall x\in [a,b]$ $$\int\limits_{a}^{b}{f(x) dx} \le M(b-a) \tag 3$$

Observar con la ayuda de $(1)$ $(3)$ que $$\int\limits_{m-1}^{m}{\log x\, dx}\le \log{m} \tag{4}$$

El uso de $(2)$ $(4)$ ver que $$\int\limits_{1}^{n}{\log x\, dx}\le \log 2+\log 3 +\cdots +\log n=\sum\limits_{m=1}^{n}\log m $$

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$$\large \underline{\texttt{Geometric Proof}}$$

Recordemos que $\int\limits_{a}^{b}{f(x)}$ se define como el área bajo la curva de $f(x)$, ahora un vistazo a la siguiente gráfica.

Comparar el área entre el $\log x$ $x$ eje con el área verde de la región y $x$ eje para obtener un resultado. $(1)$ desempeña un papel fundamental en nuestra hipótesis acerca de las áreas.

También se puede ver aquí para una gráfica.

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$$\large \underline{\texttt{Conditions}}$$ Si $f(x)$$\color{blue}{\text{increasing}}$, a continuación, el siguiente es verdadero $$\int\limits_1^n f(x) \ \mathrm{dx} \leq \sum\limits_{m = \color{red}{2}}^n f(m)$$ (La prueba de este resultado es similar a la de la analítica de la prueba que hemos hecho.)

Nota:

1. $\log 1=0$, por lo que podemos sustituir $\sum\limits_{m = \color{red}{2}}^n \log m$ $\sum\limits_{m = \color{red}{1}}^n \log m$
2. Si $f(1)>0$ clara $\int\limits_1^n f(x) \ \mathrm{dx} \leq \sum\limits_{m = \color{red}{2}}^n f(m) \le \sum\limits_{m = \color{red}{1}}^n f(m)$
3. Usted podría estar interesado en la lectura acerca de la integral de la prueba.

Answer 2

1. $$\int_1^n \log(x) dx=[x\log(x)-x]_1^n=n\log(n)-n+1\lt \sum_{m=1}^n \log(m)=\log(\prod_{m=1}^n m)=\log(n!)\approx n\log(n)-n + O(\log(n)),$$ where I used Stirling's approximation. The next term in the $ O (\ log (n))$ is $ (1/2) \ log (2 \ pi n)> 1$, for $ n> 1 $.
2. No, supongamos que$f(x)=-\log(x)$ ...