¿Cómo probar que la secuencia$a_0, a_1, \ldots$ converge si converge$a_0, a, a_1, a \ldots$?

Question

Problema

Demostrar que la secuencia de $a_0, a_1, a_2, \ldots$ converge a $a$ si y sólo si el secuencia $a_0, a, a_1, a, a_2, a, a_3, \ldots$ converge.

Aquí está mi planteamiento:
$\Rightarrow$:
Desde $a_0, a_1, a_2, \ldots$ converge a $a$, por definición de límite, para cada $\epsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que para todo $n > N$ ,$|a_n - a| < \epsilon$. Ahora, considere la larga $$a, a, a, a, \ldots$$ Tenemos que $|a - a| < \epsilon, \, \, \forall \epsilon > 0$, lo que $a, a, a, a \ldots$ también converge a $a$. Por lo tanto, $a_0, a, a_1, a, a_2, a, a_3, \ldots$ converge.

$\Leftarrow$:
Supongamos que $a_0, a, a_1, a, a_2, a, a_3, \ldots$ converge a $L$, $L \neq \pm \infty$, por definición de límite, para cada $\epsilon > 0$, $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que para todos los $n > N$,$|a_n - a| < \epsilon$, por lo tanto no debe ser una secuencia $$a_{N+1}, a, a_{N+2}, a, a_{N+3}, a, a_{N+4}, \ldots$$ que se acercan más y más a $L$. Pero siempre hay una alternancia de $a$ entre cada una de las $a_i$$a_{i+1}$, lo $L = a$ lo contrario $|a_n - L| < \epsilon$ no tiene ningún sentido. Por lo tanto, $a_0, a_1, a_2, \ldots$ converge a $a$.

Sin embargo, yo todavía sienten que no es completa, porque todos mis razones se basa en la definición de la secuencia infinita. Creo que debe haber una manera de dar un fuerte argumento para este problema. Me pregunto si alguien me podría dar una pista/sugerencia de mi solución? Gracias.

Answer 1

Su $\Rightarrow$ prueba es errónea, o al menos confuso. Usted no puede demostrar que una secuencia converge mediante la selección de un convergentes larga de la misma; si pudiera, todo tipo de cosas convergen, como $\langle 0,1,0,2,0,3,0,4\ldots\rangle$.

Pruebe algo como esto. Queremos mostrar que $\langle a_0, a, a_1, a, a_2, a\ldots\rangle$ converge. Vamos a llamar a esta secuencia $\langle b_0, b_1, b_2, \ldots\rangle$. Deje $\epsilon>0$ ser dado. Esto es suficiente para mostrar que podemos encontrar $N_b$ tal que para cada $M_b>N_b$, $|b_{M_b} - a|<\epsilon$.

Desde $a_i$ converge a $a$, podemos encontrar un análogo $N_a$ tal que $|a_{M_a} - a|<\epsilon$ por cada $n_a>N_a$. A continuación, tome $N_b = N_a$. Si $n_b > N_b$, entonces cualquiera de las $b_{n_b}$$a$, y así ha $|a_{n_a} - a| = 0 <\epsilon$ o $b_{n_b} = a_m$ algunos $m > N_b = N_a$, y por esa razón sabemos que $a_m - a| <\epsilon$.

Su $\Leftarrow$ prueba es también preocupante mí, porque a mí me parece que se dio por vencido y agitó sus manos en el punto en el que dicen que "de lo contrario $|a_n - L| < \epsilon$ no tendría ningún sentido." Eso no es una prueba, y se puede hacer mejor. ¿Por qué se $|a_n - L| < \epsilon$ fallar por cualquier $L\ne a$? Puede que presentan un valor de $\epsilon$ que hace no?

Pero incluso entonces usted no está listo. Se ha demostrado que la $\langle a_0, a, a_1, a, a_2, a\ldots\rangle$ converge a $a$; ahora tiene que demostrar que $\langle a_0, a_1, a_2\ldots\rangle$ converge a $a$. Usted no probar esto, usted sólo afirmó. Para probar esto, usted necesita dar una razón. Usted afirma que para cualquier $\epsilon$, lo suficientemente lejos $a_i$ tienen $|a_i - a| < \epsilon$; usted no dio ninguna indicación de cómo planearon para ello.