En Grupos de trenzas de Kassel, Turaev menciona que $\mathcal{B}_n$ es un grupo finito residual. La definición que dan como grupo residualmente finito es un grupo $G$ tal que para cada $g\in G-\{e_G\}$ ( $e_G$ la identidad de $G$ ), existe un homomorfismo $f$ a un grupo finito $H$ tal que $f(g)\neq e_H$ . Mi pregunta es:
¿Cómo puedo obtener el grupo $H$ para un elemento determinado $g\in \mathcal{B}_n$ ¿y el homomorfismo que lo cumple?
Espero que puedan ayudarme. Bonitas vacaciones.
Si la trenza no es pura, entonces se puede detectar por un homomrfismo al grupo simétrico. Así que esto se reduce a demostrar que el grupo trenza puro $P_n$ es residualmente finito. $P_n$ es un producto semidirecto iterado de grupos libres. (El resultado se deduce ahora porque los grupos libres son residualmente finitos. https://mathoverflow.net/questions/20471/why-are-free-groups-residually-finite
¿A qué Grupo Simétrico se refiere? $S_n$ para el grupo $\mathcal{B}_n$ ? Busco un ejemplo explícito de estos homomorfismos entre a $\mathcal{B}_n$ para que $H$ grupo mencionado en la pregunta. ¿Puede ser esto posible?
@MonsieurGalois El grupo H depende del elemento. Así que sí, para muchos elementos se puede usar el homomorfismo para $S_n$ , pero no funcionará en el subgrupo trenza puro, cuando haya que empezar a utilizar homomorfismos diferentes a otros grupos finitos.
Otra posibilidad es integrar $\mathcal{B}_n$ en el grupo de automorfismo $\mathrm{Aut}(\mathbb{F}_n)$ del grupo libre $\mathbb{F}_n$ . Ahora, Baumslag dio una prueba muy corta del hecho de que, para cualquier grupo finitamente generado residualmente finito $G$ , $\mathrm{Aut}(G)$ también es residualmente finito. La conclusión se sigue de la finitud residual de los grupos libres finitamente generados (véase, por ejemplo, la bella demostración de Stallings en Topología de grafos finitos ), ya que un subgrupo de un grupo residualmente finito es claramente residualmente finito.
Para más información, consulte Resultados básicos sobre grupos de trenzas y sus referencias.
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Necesitas $H$ ser un finito grupo.
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Alguien me lo explicó una vez. Algo así como: " $B_n$ es un subgrupo de $\text{Aut}(F_n)$ que es mucho más fácil de demostrar que es residualmente finito". No recuerdo cómo hacer ninguna de las mitades de ese argumento.
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Bueno, si $g$ no es una trenza pura, el mapa cociente obvio al grupo simétrico servirá. Para trenzas puras, supongo que querrás peinar la trenza. Así que usa el hecho de que $P_n=F_n\rtimes P_{n-1}$ donde $F_n$ es el grupo libre en $n$ generadores (que es residualmente finito) y luego usar la inducción
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@DanRust Acabo de publicar el mismo argumento. :)