Necesito ayuda para resolver esta integral con valor absoluto. No estoy seguro de cómo hacer este tipo de integrales.
$$\int_{-1}^1 \frac {1}{\sqrt{|x|}} \text{d}x$$
Gracias
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La sugerencia de Mike Earnest sobre la propiedad simétrica de esta cuestión en particular funciona, pero me gustaría presentar otro método/consejo sobre el tratamiento de las funciones de módulo que sigue funcionando incluso cuando se trata de límites asimétricos.
Se trata de dividir el módulo en casos restringiendo el dominio.
$$ |f(x))| = \begin{cases} f(x) & \textrm{if } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \textrm{if } f(x) < 0 \end{cases}$$ En particular, $$ |x| = \begin{cases} x & \textrm{if } x \geq 0 \\ -x & \textrm{if } x < 0 \end{cases}$$ Por lo tanto, nuestra integral requerida puede descomponerse en \begin{equation} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \mathrm{d}x = \int_{-1}^0 \frac{1}{\sqrt{-x}} \mathrm{d}x + \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{d}x \end{equation}
Como señala AlexR, aunque la función no está definida para $x=0$ las integrales siguen funcionando considerando los límites para algunas pequeñas $\epsilon$ . En particular, las dos integrales de la derecha existen, por lo que la integral de la pregunta existe y la igualdad es válida.
