¿Qué es una función theta?

Question

¿Qué es exactamente una función theta?

$$\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z)= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty \left(e^{\pi i\tau}\right)^{n^2} \cos(2\pi n z) = \sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}\eta^n"$$

¿Y cómo surge naturalmente? (como en ¿cómo sale de forma natural de un cálculo ilustrando la necesidad de darle un nombre?). Libros como Whittaker-Watson simplemente dicen que las funciones elípticas pueden ser representadas como cocientes de funciones theta, aparentemente siendo útiles para cálculos explícitos, entonces seguramente hay una forma natural de ver por qué es así sin conocerlas de antemano?

Nota: No tan interesado en la motivación de la teoría de números, más en la motivación de las integrales/funciones elípticas y la física matemática,

Algunas fuentes dicen que son solo series de Fourier (¿de qué?), otras fuentes dicen que son cocientes de series de Fourier, otras fuentes las definen como un producto infinito (que aparentemente insinúa periodicidad implicando una representación útil de Fourier), Goursat simplemente lo llama una serie de Laurent (¿de qué?). Otras fuentes dicen que es la serie de Fourier de una versión periódica de alguna función incomprensible $\sigma$ que aparece en funciones elípticas (lo cual no parece tener nada que ver con cómo se define la función theta de todos modos).

Así que, asumiendo que una función theta es una serie de Fourier (cociente de?), ¿de qué es una serie de Fourier y cómo surge naturalmente?

Answer 1

Surgen de un esfuerzo por encontrar una expansión del producto de las funciones elípticas utilizando el teorema de Weierstrass para factorizar los ceros y polos. Espero que el siguiente esquema dé una motivación intuitiva para la creación de las funciones theta. Ingenuamente, podríamos escribir

$$\text{sn}(z)=z\pi \prod \frac{1-\frac{z}{2Kn+2K^{\prime}mi} }{ 1-\frac{z}{2Kn+2K^{\prime}mi +K^{\prime}i}}.$$

Definimos $\tau=\frac{K^{\prime}i}{K}$ entonces $$\text{sn}(2Kz)=2Kz\prod \left( \frac{1-\frac{z}{n+m\tau} }{1-\frac{z}{n+m\tau+\frac{1}{2}\tau}}\right).$$

Sin embargo, ninguno de los productos $\prod\limits_{nm} 1-\frac{z}{n+m\tau}$ o $\prod\limits_{nm} 1-\frac{z}{n+m\tau+\frac{1}{2}\tau}$ converge absolutamente. Hay dos formas de hacer productos convergentes a partir de estas expresiones. Una es introducir factores de convergencia siguiendo a Weierstrass, y esto conduce a las funciones $\sigma$. Otra forma es tomar el producto primero por $n$ y luego por $m$. Esto resulta en las importantes funciones theta. Definimos

$$\Theta_1(z)=2Kz \prod\limits_m \prod\limits_n \left( 1- \frac{z}{n+m\tau} \right).$$

Después de cierta manipulación y con $q=e^{\tau \pi i}$,

$$\Theta_1(z)=\frac{2K}{\pi}\sin(\pi z)\frac{\prod\limits_{m=1}^{\infty}1-2q^{2m}\cos(2z\pi)+q^{4m}}{\prod\limits_{m=1}^{\infty}\left[ 1-q^{2m} \right]^2}$$ está bien definido con numerador y denominador absolutamente convergentes. De manera similar definimos

$$\Theta_0(z)= \prod\limits_m \prod\limits_n \left( 1- \frac{z}{n+(m+\frac{1}{2})\tau} \right)$$ y obtenemos,

$$\Theta_0(z)=\frac{\prod\limits_{m=1}^{\infty}1-2q^{2m-1}\cos(2z\pi)+q^{4m-2}}{\prod\limits_{m=1}^{\infty}\left[ 1-q^{2m-1} \right]^2}.$$

Como resultado tenemos una expresión de producto para la función $\text{sn}(2Kz)$.

$$\text{sn}(2Kz)=\frac{\Theta_1(z)}{\Theta_0(z)}.$$

De manera similar podemos definir las funciones,

$$\Theta_2(z)=\cos(\pi z)\frac{\prod\limits_{m=1}^{\infty}1+2q^{2m}\cos(2z\pi)+q^{4m}}{\prod\limits_{m=1}^{\infty}\left[ 1+q^{2m} \right]^2}$$ y $$\Theta_3(z)=\frac{\prod\limits_{m=1}^{\infty}1+2q^{2m-1}\cos(2z\pi)+q^{4m-2}}{\prod\limits_{m=1}^{\infty}\left[ 1+q^{2m-1} \right]^2}.$$

Y tenemos

$$\text{cn}(2Kz)=\frac{\Theta_2(z)}{\Theta_0(z)}$$ $$\text{dn}(2Kz)=\frac{\Theta_3(z)}{\Theta_0(z)}.$$

Answer 2

Mirando hacia atrás, lo que realmente esperaba era la siguiente explicación simple que delineara claramente los conceptos:

Una función trigonométrica (circular) se puede definir enfocándose en el dominio del círculo (por lo tanto, hay un solo período) o en su imagen. Si nos enfocamos en el dominio, analizamos funciones singularmente periódicas, definiendo funciones trigonométricas directamente, mientras que si analizamos la imagen nos centramos en la longitud del arco, definiendo funciones trigonométricas a través de las inversas de integrales de longitud de arco. Además, las funciones trigonométricas se pueden definir en términos de funciones exponenciales, así como en términos de productos infinitos.

Una función elíptica se puede definir de manera similar en términos del dominio de una elipse (por lo tanto, hay dos períodos), dando funciones doblemente periódicas, o en su imagen, a través de imágenes inversas de integrales de longitud de arco. Si hacemos las cosas directamente de esta manera, terminamos con las funciones elípticas de Weierstrass, que tienen un polo doble. Sin embargo, las funciones elípticas deberían ser definibles de manera análoga a cómo se formulan las funciones trigonométricas en términos de exponenciales, esta es el origen de las funciones theta de Jacobi. Mi suposición es que, al igual que las funciones trigonométricas son una suma de exponenciales, ya que las funciones elípticas son alguna combinación de funciones theta en un paralelogramo, es por eso que las funciones elípticas tienen dos polos distintos. De todas formas, entonces una formulación distinta de las funciones elípticas en términos de productos infinitos nos da las funciones sigma de Weierstrass.

¡Creo que eso explica por qué cada libro es como es! Una vez que ves estos hilos separados, solo entonces deberías mezclarlos, ¡ah, eso solo tomó unos cuantos años verlo...

Answer 3

Físicamente, puedes pensar en las funciones elípticas como describiendo el movimiento de un péndulo general sin fricción. Si el péndulo oscila a través de un ángulo $\alpha$, entonces $k=\sin^2\tfrac12\alpha$ es el módulo, y $\alpha$ se llama el ángulo modular. El movimiento del péndulo está descrito por la función $\operatorname{sn}.$

¿Por qué tiene un período real e imaginario? Porque si invirtieras la dirección de la gravedad, su movimiento sería el de un péndulo con la variable de tiempo $t$ reemplazada por $it$, hablando en términos generales, ya que la frecuencia de un péndulo depende de $\sqrt{g},$ donde $g$ es la aceleración gravitatoria. Por lo tanto, debe tener dos períodos, uno real y uno imaginario.

Las funciones theta se piensan de manera similar como las proporciones de estas funciones elípticas o físicamente como soluciones al problema de la conducción de calor.