Mostrar $4^m>2m^2 + 5m$ para $m\geq 3$ por inducción

Question

Demostrar que $4^m>2m^2 + 5m$ . Quiero practicar la demostración por inducción. Sé que esto no es cierto para valores pequeños de $m$ . Así, el caso base puede ser $m=3$ . Entonces tenemos $$4^3 > 2(3)^2+5(3)$$ = $$64>32$$ A continuación, decimos que si $$4^m>2m^2 + 5m$$ entonces $$4^{m+1}>2(m+1)^2 + 5(m+1)$$

\= $$4^m(4) >(m+1)(2(m+1)+1)$$

No sé muy bien qué hacer con esto a partir de ahora.

Answer 1

Así es como se puede llegar al caso $m+1$ asumiendo el caso $m$ :

$$4^m>2m^2 + 5m\\ \Rightarrow4(4^m)>4(2m^2 + 5m)\\ \begin{align}\Rightarrow4^{m+1}&>8m^2+20m\\ &=2m^2+9m+6m^2+11m\\ &>2m^2+9m+7\\ &=2m^2+4m+2+5m+5\\ &=2(m^2+2m+1)+5m+5\\ &=2(m+1)^2+5(m+1) \end{align}$$

Answer 2

Ya ha establecido el caso base. Ahora, dejemos que $S(m)$ denota la siguiente proposición para todo $m\geq 3$ : $$ S(m) : 4^m>2m^2+5m. $$ Arreglar algunos $k\geq 3$ y asumir que $$ S(k) : 4^k>2k^2+5k $$ retenciones. Lo que hay que demostrar es que $S(k+1)$ sigue: $$ S(k+1) : 4^{k+1} > 2(k+1)^2+5(k+1). $$ Empezando por el lado izquierdo de $S(k+1)$ , \begin{align} 4^{k+1} &= 4\cdot 4^k\tag{by definition}\\[0.5em] &> 4\cdot(2k^2+5k)\tag{by $S(k)$}\\[0.5em] &= 8k^2+20k\tag{expand}\\[0.5em] &> 2k^2+9k+7\tag{"strategic observation"}\\[0.5em] &= 2(k^2+2k+1)+5k+5\tag{strategically rearrange}\\[0.5em] &= 2(k+1)^2+5(k+1), \end{align} vemos que el lado derecho de $S(k+1)$ sigue.

Así, por inducción matemática, $S(m)$ es válida para todos los $m\geq 3$ . $\blacksquare$

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Probablemente debería señalar cómo llegué a mi "observación estratégica". Esencialmente, yo mismo llegué al paso de "ampliar" y me pregunté qué podría necesitar a continuación. Sabiendo que en última instancia necesitaba terminar en $2(k+1)^2+5(k+1)$ Para esta suma, he ampliado todo y he trabajado esencialmente hacia atrás, mostrando lo que necesitaba y dónde. ¿Tiene sentido ahora?