Si un grupo de $H$ orden $255$, entonces los teoremas de Sylow, nos dice que debe tener un Sylow $p$-subgrupo de orden $5$ e hay $1$ o $51$ de ellos, también hay $1$ Sylow $p$-subgrupo de orden $3$ o $85$ Sylow p-subgrupos de orden $3$. ¿Cómo puedo demostrar que no es el caso que hay tanto en $51$ orden $5$ Sylow $p$-subgrupos y $85$ orden $3$ Sylow p-subgrupos? En general, ¿cuál es la mejor manera de lidiar con estos casos?
Respuesta
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Supongamos por contradicción que no se $51$ Sylow $5$-subgrupos y $85$ Sylow $3$-subgrupos. Cualquier no-elemento de identidad de un Sylow $5$-subgrupo debe tener un orden $5$, y la de no-elemento de identidad de un Sylow $3$-subgrupo debe tener un orden $3$, por lo que un Sylow $5$-subgrupo y un Sylow $3$-subgrupo se cruzan sólo en $e$. Así, el número total de elementos en $51$ Sylow $5$-subgrupos y $85$ Sylow $3$-subgrupos sería $51(4)+85(2)+1=375>255$.
