Cómo caracterizar los operadores autoadjuntos en términos de diagonalizabilidad ortogonal

Question

Echa un vistazo al siguiente extracto de Tosio Kato (tomado de Zeidler Análisis funcional aplicado vol. I):

La cualidad fundamental que se exige a los operadores que representan cantidades físicas en la mecánica cuántica es que sean autoadjunto lo que equivale a decir que el problema de valores propios es completamente resoluble para ellos, es decir, que existe un conjunto completo (discreto o continuo) de funciones propias.

¿Qué quiere decir? Para mí un autoadjunto operador $(A, D(A))$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ es un operador lineal s.t. $A=A^\star$ lo que equivale a decir que es expresable en términos de una única medida con valor de proyección $P_A$ :

$$A=\int_{-\infty}^\infty \lambda\, dP_A(\lambda).$$

Esto es lo mejor que se me ocurre para coincidir con lo que refiere Kato. Sin embargo, esto está un poco incompleto. ¿Dónde están esos eigenfunciones ¿menciona Kato? Además, una versión del teorema espectral también es válida para los operadores normales. ¿Por qué se descartan?

Answer 1

En términos de física, hay una sencilla razón por la que se descartan los operadores normales: las cantidades físicas son cosas que se pueden medir. Y por lo tanto los valores propios correspondientes deben ser real . Los operadores normales en general admiten valores propios complejos.

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Si el operador autoadjunto es compacto, entonces se sabe cuáles son las funciones propias (la base ortonormal se obtiene del teorema espectral; Kato puede haber querido que sus operadores autoadjuntos sean compactos, pero lo dudo). En los casos más generales, lo que Kato (supongo) estaba pensando es quizás más en la línea de las funciones propias "generalizadas". Dos ejemplos:

• En $L^2(\mathbb{R})$ el Laplaciano es un operador autoadjunto no limitado (o mejor dicho, tiene una extensión autoadjunta yada yada). Al resolver la EDO, se ve que $e^{ikx}$ satisfacer $\triangle e^{ikx} = -k^2 e^{ikx}$ Así que ellos mira como las funciones propias, pero por supuesto, $e^{ikx}$ no está en $L^2(\mathbb{R})$ .
• En $L^2([0,1])$ la operación $f(x) \mapsto x f(x)$ está acotado y es autoadjunto. (Pero no es compacta.) Es fácil ver por inspección que la distribución de Dirac $\delta_{x_0}$ "resuelve" la ecuación de la función propia con el valor propio $x_0$ pero, por supuesto, la función delta no es un elemento de $L^2$ .

De hecho, en términos de la formulación de la medida, las funciones propias son precisamente objetos apoyados en un punto $\lambda$ . Así que si se aplica el teorema de descomposición de Lebesgue, se ve que para cada $\lambda$ que está en la parte del punto puro de la medida $P_A$ la función característica de $\lambda$ es medible, y su integral corresponde a una proyección sobre algún subespacio de su espacio de Hilbert. Los elementos de esos subespacios son funciones propias.

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En cualquier caso, siempre que se vean afirmaciones generales como ésta en libros o artículos, hay que tomarlas con un grano de sal y tratarlas más como principios rectores que como definiciones precisas.