¿Está Rudin en lo cierto? Teorema de Fubini y medidas del producto

Question

Dejemos que $X, Y$ sean espacios Hausdorff localmente compactos con medidas regulares no negativas $\mu, \lambda$ . Por definición (en el libro que estoy leyendo) una medida regular es una medida de Borel para la cual todo conjunto de Borel puede ser aproximado desde abajo por conjuntos compactos, o desde arriba por conjuntos abiertos. En el apéndice del libro de Rudin Análisis de Fourier en grupos En la página web de la Comisión Europea, hace un par de afirmaciones que no he encontrado en ningún otro sitio. Sólo quería confirmar que son correctas. La primera es:

Hay una única medida regular $\mu \times \lambda$ en $X \times Y$ para lo cual $\mu \times \lambda(A \times B) = \mu(A) \lambda(B)$ para $A \subseteq X, B \subseteq Y$ Borel.

Esta afirmación me parece sospechosa, porque sé que las medidas del producto no están en general determinadas de forma única por sus valores en productos de conjuntos de Borel. Algunas cosas pueden ocurrir cuando $X$ o $Y$ no es $\sigma$ -finito. Lo siguiente es:

("Teorema de Fubini") Si $f \geq 0$ es una función de Borel en $X \times Y$ entonces $$ \int\limits f d(\mu \times \lambda) = \int\limits_X \int\limits_Y f(x,y)d\lambda(y) d\mu(x) = \int\limits_Y \int\limits_X f(x,y)d \mu(x) d \lambda(y) $$

La razón por la que me preocupa esto es que hay una muy resultado similar al expuesto en Hewitt y Ross, Análisis armónico abstracto El Teorema 13.9, que hace la misma afirmación para $f \geq 0$ Borel (aunque permiten $f$ para tomar el valor infinito, Rudin claramente no lo hace). Este teorema da el mismo resultado, pero requiere la hipótesis de adición de que $f$ desaparece de una unión contable de $(\mu \times \lambda)$ -conjuntos medibles que tienen cada uno una medida finita.

¿Algún experto en las sutilezas de las medidas regulares estaría dispuesto a explicar por qué o confirmar que las afirmaciones de Rudin son correctas? Una cosa que me pregunto es si Rudin está asumiendo tácitamente $X,Y$ y $X \times Y$ tienen una propiedad adicional (que es cierta para los grupos abelianos de Hausdorff localmente compactos, que es de lo que se ocupa principalmente su libro), a saber, que cada espacio es una unión disjunta de $\sigma$ -subespacios compactos $X_{\alpha}$ , de tal manera que cada $\sigma$ -subconjunto compacto de $X$ está contenida en una unión contable de los $X_{\alpha}$ .

Answer 1

Una pregunta es qué quiere decir con "todo conjunto de Borel puede ser aproximado por conjuntos compactos desde dentro y por conjuntos abiertos desde fuera". La definición habitual que tomo (adoptada por Folland, que también proporciona esencialmente el ejemplo que se menciona a continuación) es que $\mu(M) = \inf_{U \subset M}\mu(U)$ (con $U$ abierta) debe ser válida para todos los conjuntos de Borel $M$ mientras que $\mu(M)=\sup{K \subset M}\mu(K)$ sólo es necesario para Abrir $M$ .

El contraejemplo estándar de este tipo de cosas es el siguiente: Sea $X = \Bbb{R}_d$ sea el grupo de los reales (con la adición habitual), pero con la topología discreta y sea $Y=\Bbb{R}$ .

Ahora, toma $A\times B=\Bbb{R}_d \times \{0\}$ . Obsérvese que los conjuntos correspondientes son cerrados, por lo tanto, de Borel. Por su requisito, $\mu\times\lambda (A \times B)= \mu(A)\lambda(B) =\infty \cdot 0=0$ , donde $\mu,\lambda$ son las medidas de Haar. Obsérvese que $\infty \cdot 0=0$ es la única opción sensata para las medidas de producto (considere $A\times \emptyset$ ).

Pero para cualquier conjunto abierto $U \supset A \times B$ tenemos $U \supset \{x\}\times (0,\epsilon_x)$ para algunos $\epsilon_x >0$ . Desde $\Bbb{R}$ es incontable, hay algún $n$ e infinitas $x_1, x_2, \dots$ con $\epsilon_{x_\ell} \geq 1/n$ para todos $\ell$ . Junto con sus suposiciones sobre la medida del producto, esto produce fácilmente $\mu \times \lambda (U) = \infty$ . Por lo tanto, el producto no es exteriormente regular.

Dado que una medida del producto como la descrita por Rudin no existe en general, hablar del problema de Fubini es de poca utilidad. De todos modos, la discusión anterior muestra que una versión regular de la medida del producto daría $\mu\times\lambda (A\times B)=\infty$ , por lo que su fórmula Fubuni falla cuando se aplica al indicador de este conjunto.

Por último, en los libros de Folland "Análisis real" y "Análisis armónico abstracto" se puede encontrar una discusión muy agradable sobre estos temas. Allí construye un Producto de radón de dos medidas de Radon y explica la diferencia con la medida habitual del producto.