Transformación de una ecuación diferencial en una ecuación de Kummer

Question

Estoy tratando de transformar una ecuación de la forma

$$ yw^{\prime\prime}(y) - [b - ay] w^\prime(y) - [d + ey]w(y) = 0 $$

en la forma de una ecuación diferencial hipergeométrica de Kummer o confluente:

$$ y w^{\prime\prime}(y) + [f - y] w^\prime(y) + g w(y) = 0 $$

Sé que puede tener algo que ver con la fusión de dos de las singularidades de la ecuación original, y tal vez hacer algo con $y$ , lo que la convierte en $\frac{y}{b}$ y llevando b al infinito, pero no sé y no puedo encontrar los detalles para este proceso, y para mi ecuación específicamente. No hay demasiada diferencia entre ambas, pero sí la suficiente como para que no lo consiga.

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

De hecho, este no es el negocio de las singularidades, sino sólo el de la transformación de las variables.

Dejemos que $w=e^{ny}w_1$ ,

Entonces $\dfrac{dw}{dy}=e^{ny}\dfrac{dw_1}{dy}+ne^{ny}w_1$

$\dfrac{d^2w}{dy^2}=e^{ny}\dfrac{d^2w_1}{dy^2}+ne^{ny}\dfrac{dw_1}{dy}+ne^{ny}\dfrac{dw_1}{dy}+n^2e^{ny}w_1=e^{ny}\dfrac{d^2w_1}{dy^2}+2ne^{ny}\dfrac{dw_1}{dy}+n^2e^{ny}w_1$

$\therefore y\left(e^{ny}\dfrac{d^2w_1}{dy^2}+2ne^{ny}\dfrac{dw_1}{dy}+n^2e^{ny}w_1\right)-(b-ay)\left(e^{ny}\dfrac{dw_1}{dy}+ne^{ny}w_1\right)-(d+ey)e^{ny}w_1=0$

$y\left(\dfrac{d^2w_1}{dy^2}+2n\dfrac{dw_1}{dy}+n^2w_1\right)-(b-ay)\left(\dfrac{dw_1}{dy}+nw_1\right)-(d+ey)w_1=0$

$y\dfrac{d^2w_1}{dy^2}+2ny\dfrac{dw_1}{dy}+n^2yw_1-b\dfrac{dw_1}{dy}-bnw_1+ay\dfrac{dw_1}{dy}+anyw_1-dw_1-eyw_1=0$

$y\dfrac{d^2w_1}{dy^2}+(-b+(2n+a)y)\dfrac{dw_1}{dy}+(-(bn+d)+(n^2+an-e)y)w_1=0$

Elija $n^2+an-e=0$ es decir $n=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2+4e}}{2}$ la EDO se convierte en

$y\dfrac{d^2w_1}{dy^2}+(-b\pm\sqrt{a^2+4e}~y)\dfrac{dw_1}{dy}+\dfrac{ab-2d\mp b\sqrt{a^2+4e}}{2}w_1=0$

Dejemos que $y_1=ky$ ,

Entonces $\dfrac{dw_1}{dy}=\dfrac{dw_1}{dy_1}\dfrac{dy_1}{dy}=k\dfrac{dw_1}{dy_1}$

$\dfrac{d^2w_1}{dy^2}=\dfrac{d}{dy}\left(k\dfrac{dw_1}{dy_1}\right)=\dfrac{d}{dy_1}\left(k\dfrac{dw_1}{dy_1}\right)\dfrac{dy_1}{dy}=k\dfrac{d^2w_1}{dy_1^2}k=k^2\dfrac{d^2w_1}{dy_1^2}$

$\therefore\dfrac{y_1}{k}k^2\dfrac{d^2w_1}{dy_1^2}+\left(-b\pm\sqrt{a^2+4e}\dfrac{y_1}{k}\right)k\dfrac{dw_1}{dy_1}+\dfrac{ab-2d\mp b\sqrt{a^2+4e}}{2}w_1=0$

$ky_1\dfrac{d^2w_1}{dy_1^2}+\left(-b\pm\dfrac{\sqrt{a^2+4e}}{k}y_1\right)k\dfrac{dw_1}{dy_1}+\dfrac{ab-2d\mp b\sqrt{a^2+4e}}{2}w_1=0$

$y_1\dfrac{d^2w_1}{dy_1^2}+\left(-b\pm\dfrac{\sqrt{a^2+4e}}{k}y_1\right)\dfrac{dw_1}{dy_1}+\dfrac{ab-2d\mp b\sqrt{a^2+4e}}{2k}w_1=0$

Elija $\pm\dfrac{\sqrt{a^2+4e}}{k}=-1$ es decir $k=\mp\sqrt{a^2+4e}$ la EDO se convierte en

$y_1\dfrac{d^2w_1}{dy_1^2}+(-b-y_1)\dfrac{dw_1}{dy_1}\mp\dfrac{ab-2d\mp b\sqrt{a^2+4e}}{2\sqrt{a^2+4e}}w_1=0$

Answer 2

La ecuación diferencial $$ y \cdot w^{\prime\prime}(y) + (a y - b) \cdot w^{\prime}(y) - (d+ e y) \cdot w(y) = 0 \tag{1} $$ tiene dos puntos singulares, a saber $y=0$ y $y=\infty$ . El origen es punto singular regular con exponentes $0$ y $b-1$ . El infinito es el punto singular irregular de $(1)$ es decir, sus soluciones tienen una singularidad esencial en el infinito. Asintóticamente la solución fundamental se lee: $$ w(y) = c_+ \exp\left(-\lambda_+ y\right) y^{\mu_+} \left(1 + \mathcal{o}(1)\right) + c_- \exp\left(-\lambda_- y\right) y^{\mu_-} \left(1 + \mathcal{o}(1)\right) $$ donde $2\lambda_{\pm}= b \pm \sqrt{b^2 + 4 e}$ y $\mu_\pm = \pm\dfrac{ a \lambda_\pm - d}{\lambda_+ - \lambda_-}$ .

La segunda ecuación también tiene dos puntos singulares, $y=0$ y $y=\infty$ . Se puede obtener mediante la ec. $(1)$ al establecer $a=-1$ , $b=-f$ , $d=-g$ y $e=0$ . Así, la segunda ecuación diferencial también tiene el origen como punto regular y el infinito como punto singular irregular.

Como ambas ecuaciones son del mismo tipo, no se pueden obtener la una de la otra por límite confluente, que toma una ecuación diferencial con tres puntos singulares regulares (como la ecuación diferencial hipergeométrica de Gauss que seguramente te dieron), y fusiona dos de esas singularidades.