Homología con $\mathbf{Z}_2$ coeficientes de

Question

Yo calculada algunos de homología de grupos, podría usted decirme si tengo derecho? Gracias.

(i) Deje $M$ ser la banda de Möbius. A continuación, $H_0(M, \mathbf{Z}_2) = H_1(M, \mathbf{Z}_2) = \mathbf{Z}_2$ $H_n(M, \mathbf{Z}_2) = 0$ lo contrario.

(ii) $H_0 ( S^1, \mathbf{Z}_2) = H_1(S^1, \mathbf{Z}_2) = \mathbf{Z}_2$ $H_n(S^1, \mathbf{Z}_2) = 0$ lo contrario.

Así que no podemos distinguir entre la banda de Möbius y $S^1$$\mathbf{Z}_2$, incluso a pesar de que no son homeomórficos.

(iii) $H_0 (S^2, \mathbf{Z}_2) = \mathbf{Z}_2 $, $H_2 ( S^2, \mathbf{Z}_2) = \mathbf{Z}_2$ y $H_n(S^2, \mathbf{Z}_2) = 0$ lo contrario.

(iv) Deje $T = S^1 \times S^1$. Entonces $H_0(T, \mathbf{Z}_2) = \mathbf{Z}_2$, $H_1(T, \mathbf{Z}_2) = \mathbf{Z}_2 \oplus \mathbf{Z}_2$ y $H_2(T, \mathbf{Z}_2) = \mathbf{Z}_2$. $H_n(T,\mathbf{Z}_2) = 0$ de lo contrario.

Así, vemos que todavía podemos distinguir algunos no homeomórficos espacios.

Answer 1

(i),(ii) es correcta. Usted debe demostrar (o creer) que la banda de Möbius y el círculo son homotópica, de modo que sea homotopy invariantes que estás mirando, que debe ser el mismo!

(iii) de Nuevo correcta. Intentar convencer a ti mismo de lo $H_i(S^n;\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ debe ser ahora

(iv) vuelve a ser la Correcta.

No estoy seguro de que hay mucho más que añadir!