Interesante suma armónica $\sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}H_k^{(2)}$

Question

Aquí http://integralsandseries.prophpbb.com/topic119.html

Nos encontramos con la siguiente suma armónica

$$\tag{1} \sum_{k\geq 1}\frac{(-1)^{k-1}}{k^2}H_k^{(2)}$$

Tenga en cuenta que definimos

$$H_k^{(2)}=\sum_{n\geq 1}^k\frac{1}{n^2} $$

También tenemos

$$\psi_1(k+1)= \zeta(2) -H_k^{(2)} $$

¿Alguna idea de cómo evaluar (1)?

Answer 1

A problema relacionado . Puede tener la siguiente identidad

$$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} \frac{H_k^{(2)}}{k^2} = \frac{37}{16}\zeta(4)+2\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{H_k}{k^3}\sim 0.7843781621 .$$