Puede el PDE $u_{xx} + u_{xy} + u_{yy} = 0$ ser separados por las variables?

Question

Acabo de empezar a leer Gerald Folland del libro Análisis de Fourier y Sus Aplicaciones. Tengo una pregunta acerca del problema 1 de la sección 1.3.

El problema es el siguiente.

1. Derivar pares de ecuaciones diferenciales ordinarias procedentes de las siguientes ecuaciones diferenciales parciales por separación de variables, o mostrar que no es posible.

$\quad$ c) $\,$ $u_{xx} + u_{xy} + u_{yy} = 0$

Entonces, si yo trato de variables independientes dejando $u(x, y) = X(x)Y(y)$, me sale el siguiente ecuación

$$X"(x)Y(y) + X'(x)Y'(y) + X(x)Y"(y) = 0$$

Para las otras tres ecuaciones correspondientes a las partes (a), (b) y (d) de los ejercicios que yo era capaz de separar las variables con bastante facilidad después de hacer lo anterior de sustitución de $u(x, y) = X(x)Y(y)$, pero para esto yo no creo que sea posible.

Pregunta

Puede la ecuación anterior puede separarse por variables? Y si no, ¿cómo sería una prueba de que esto no puede ser hecho?

No he sido capaz de encontrar ejemplos en los que un determinado PDE está demostrado que no son separables por variables.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Que casi he respondido a tu pregunta ya. Si se divide por $XY$ obtener:

$$\frac{X''}{X}+ \frac{X'Y'}{XY}+ \frac{Y''}{Y}=0$$

Por lo tanto,

$$\frac{X''}{X}= \frac{X'Y'}{XY}- \frac{Y''}{Y}$$

Ahora, si funciona te gustaría ser capaz de observar que cada lado de la expresión depende sólo de $x$ (el l.h.s.) y sólo en $y$ (la r.h.s.). Pero, que falla aquí debido a la mezcla del término derivado. Tal vez eso es todo lo que se espera de usted.

Tal vez alguien tiene una mejor respuesta? La sugerencia acerca de $45^o$ por paul garrett estaba animando a que este PDE es una forma cuadrática en $\partial_x, \partial_y$ y puede ser diagonalized cambiando a eigencoordinates. Personalmente, me hubiera encantado si tuviera un estudiante de emplear esta técnica.

Nota: $Q(x,y) = x^2+xy+y^2$ implica $A = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{array} \right]$ por lo tanto $det(A - \lambda I) = (\lambda -1)^2-1/4=0$. Nos encontramos con $\lambda_1 = 1/2$$\lambda_2 = 3/2$.Esto sugiere que usted puede elegir coordina $z,w$ de manera tal que el PDE, que toma la forma $\frac{1}{2}u_{yy}+\frac{3}{2}u_{zz}=0$.

Pero, esto no está permitido. De lo contrario, la mayoría de la clasificación de las preguntas en ecuaciones diferenciales no tendría sentido. Tomar la cuestión de la exactitud de primer orden las ecuaciones diferenciales ordinarias. Siempre se puede decir que es exacta, por Pfaff del Teorema.

Más al punto, la rotación de 45 grados (esos son los eigencoordinates) no es justo jugar en su juego.

Answer 2

De hecho, esta pregunta es fácil pensar que no dependen de los libros.

De hecho, el lineal homogénea de la PDE con dos variables independientes, la mayoría de los generales separables condición es que si se puede regrabable para la forma $\sum_{m_1=0}^{n_1}p(x)X^{(m_1)}(x)\sum_{m_2=0}^{n_2}q(y)Y^{(m_2)}(y)=\sum_{m_3=0}^{n_3}r(x)X^{(m_3)}(x)\sum_{m_4=0}^{n_4}s(y)Y^{(m_4)}(y)$ cuando dejando $u(x,y)=X(x)Y(y)$ .

Cuando intenta resolver el PDE $u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}=0$ por separación de variables, es decir, vamos a $u(x,y) = X(x)Y(y)$ , usted recibirá la clave de la ecuación de $X''(x)Y(y)+X'(x)Y'(y)+X(x)Y''(y)=0$ , y esta es, obviamente, no volver a escribir de la forma $\sum_{m_1=0}^{n_1}p(x)X^{(m_1)}(x)\sum_{m_2=0}^{n_2}q(y)Y^{(m_2)}(y)=\sum_{m_3=0}^{n_3}r(x)X^{(m_3)}(x)\sum_{m_4=0}^{n_4}s(y)Y^{(m_4)}(y)$ , por lo que el PDE $u_{xx}+u_{xy}+u_{yy}=0$ deben ser inseparables.