¿Cómo podemos encontrar el entero positivo soluciones a las variables$m$$n$, si conocemos $r$, que satisfacen la ecuación:
$$r = \frac{\sqrt{3(m-n)^2 n^2}}{2},$$
donde $m$ $n$ son coprime, y $0 < n < m$.
Respuestas
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Oli
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Supongamos $r\ge 0$ (a causa de la raíz cuadrada), entonces el cuadrado obtenemos : $$\tag{1} 4r^2=3(m-n)^2n^2$$ Si $r$ se supone entero, a continuación, necesitamos $3|r$ es decir $r=3k$ $k$ un entero no negativo (debido a $m$ $n$ son entero) y su ecuación se convierte en : $$4\cdot 3k^2=(m-n)^2n^2$$ pero esto no puede tener una solución positiva, ya que el número de $3$ en el de la izquierda es impar, mientras que el número de $3$ a la derecha es aún. Esto implica que $k=0,\ n=0,\ m=0$.
Si $r$ no se supone que el número entero, entonces su ecuación se convierte simplemente : $$r'=\frac {2r}{\sqrt{3}}=(m-n)n\quad \text{(since $\ 0<n<m$)}$$ Desde que desee $m$ $n$ entero $r'$ debe ser entero y puede ser :
- $r'=1.n$ (si $m-n=1$ correspondiente a la solución trivial $n=r',\ m=r'+1$)
- $r'=p.n$ $p$ $n$ coprime ($p=m-n$) : es decir, la computación $r'$ tienes un entero que no se puede ser potencia de primer ; descompone en potencias de números primos : $$r'=\prod_{i=1}^N p_i^{k_i}$$ y considerar todas las particiones en dos clases posibles de estos $N$ primos, uno definirá $n$ y el otro $p$ (después de deducir $m=n+p$).
No está seguro de que realmente va a ayudar...
Farkhod Gaziev
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6
Supongo r a ser irracional, de lo contrario no habrá no trivial de la solución.
Por eso, $(m-n)n=\frac{2r}{\sqrt3}$
Ahora $m-n<m$ $n<m =>(m-n)n<m^2=>m^2>\frac{2r}{\sqrt3}$
De nuevo $m>n=>m-n≥1=>n≤\frac{2r}{\sqrt3}$
Por eso, $1≤n≤[\frac{2r}{\sqrt3}]$ donde [] es el mayor entero funtcion.
El valor de m puede ser calculada a partir de la ecuación dada. Tenemos que comprobar si (m,n)=1 se cumple.
