Aquí está mi pregunta. Deje $a_{m,n}$ ser una secuencia positiva, y tengo que $a_{m,n}\leq L<+\infty$ todos los $n$$m$. También sé que $\lim_{m\to \infty}a_{m,n}= a_n$ por cada $n$ fijo. Entiendo que si tengo $$ \lim_{m\to \infty}\sup_{n\geq 0}|a_{m,n}-a_n|=0,\tag 1 $$ entonces he $$ \liminf_{m\to \infty}\liminf_{n\to \infty}a_{m,n} = \liminf_{n\to \infty}\liminf_{m\to \infty}a_{m,n} \tag 2 $$ Sin embargo, no tengo la condición (1), pero por suerte solo me falta la mitad de la fuerza de (2), es decir, yo sólo quiero $$ \liminf_{m\to \infty}\liminf_{n\to \infty}a_{m,n} \geq \liminf_{n\to \infty}\liminf_{m\to \infty}a_{m,n} \etiqueta 3 $$ Así, $(3)$ mantener sin $(1)$? O, en el caso de que no, ¿puedo obtener una débil condición para asegurarse de que $(3)$?
Actualización: a partir de la respuesta a continuación sabemos que $(3)$ no posee en general. Así, puedo actualizar a $(1)$ $$ \lim_{m\to \infty}\sup_{n\geq 0}(a_n-a_{m,n})\leq0,\etiqueta 4 $$ Es decir, si $(4)$ espera, tenemos $(3)$. Aquí es una forma rápida de probar:
Tenemos $$ \liminf_{n\to\infty}\lim_{m\to\infty}a_{m,n}=\liminf_{n\to\infty}a_n $$ por el hecho de que $\lim_{m\to \infty}a_{m,n}=a_n$.
Por otra parte, por $(4)$ hemos $$ a_n\leq a_{m,n}+c_m $$ para todos los $n$ donde$c_m\to 0$$m\to\infty$. Por lo tanto, tenemos $$ \liminf_{m\to\infty}\liminf_{n\to\infty}a_{m,n}\geq \liminf_{n\to\infty}a_n $$ y hemos terminado.
