Ayuda a los problemas de lógica de Knights & Knaves

Question

¿Puede alguien ayudarme con este problema de lógica de Caballeros y Caballeros? Es del libro de Raymond Smullyan Siempre indecisos .

P= Proposición, y Q = Proposición diferente.

Propiedades:

1) R(P) -> B(P)

2) B(P) -> B(B(P))

3) B (P->Q) & B(P) -> B(Q)

Locales:

1) B(B(k) -> c)

2) B(B(c) -> c)

3) k -> (B(k) -> c)

Conclusión = B(c) y B(k)

Answer 1

Supongamos que el nativo (lo llamaré A) es un bribón. Esto significa que miente, es decir, que la frase "Si alguna vez crees que soy un caballero, la cura funcionará" es falsa, o que su negación -que es "En algún momento creerás que soy un caballero, pero la cura no funcionará"- es verdadera. Esto se debe a que $\lnot(P\to Q)\equiv(P\land\lnot Q)$ . Por lo tanto es cierto es que el creyente razonable (B) creerá que A es un caballero y no se curará.

Pero si B creyó que A es un caballero, entonces creerá que lo que dijo A es cierto (ya que los caballeros son, por definición, los que dicen la verdad), lo que significa que B creerá que se curará (ya que cree que A es un caballero). Creer que se curará (según el médico de B en el que confiamos) significa que B se curará. Hemos llegado a una contradicción (es decir, que se curará y no se curará). Por lo tanto, A es un caballero.

El creyente razonable confía en los resultados de su razonamiento y, por tanto, utilizando el razonamiento anterior, estará convencido de que A es un caballero. Esto es suficiente para demostrar que B también creerá que la cura funcionará (para ver esto sigue el razonamiento del párrafo anterior) y si el médico es de fiar B se curará efectivamente.

EDITAR : Para responder a tu edición, mi segundo párrafo habla del mundo tal y como lo ve el creyente razonable. Lo hice porque no quería abusar de la palabra "creer". Esta es la razón por la que utilicé libremente el hecho de que el médico está en lo cierto, aunque no se da esa información. Así que será inconsistente que B crea que A es un bribón, por lo que B tendrá que creer que A es un caballero. Entonces B creerá lo que dijo A, lo que daría que B creerá que la cura funcionará.