contar el número de elementos de una clase conjugacy de $S_n$

Question

Quiero saber si hay alguna forma sistemática (mediante un argumento combinatorio) para encontrar el número de elementos de las clases conjugacy de $S_n$ para un determinado $n$.

Por ejemplo, consideremos $S_5$. Si el representante de la clase conjugacy es una $m$-ciclo de Dummit y Foote da una fórmula sobre cómo calcular el número de elementos de la clase conjugacy. Esto no es un problema. Pero ¿qué pasa cuando el representante no es un $m$-ciclo. Como ejemplo podemos considerar la clase conjugacy que da lugar a la partición de $2+3$$5$. Un representante de la clase conjugacy sería $(1 2)(3 4 5)$. ¿Cómo puedo encontrar el número de tales elementos?.

Pregunta?:

Qué $ {5\choose 2}\cdot { 3 \choose 3}\cdot 2$ me dan lo que yo quiero?

Razonamiento: Para el primer paréntesis necesito elegir a $2$ elementos de $5$ y para el segundo conjunto de paréntesis necesito elegir a $3$ restante de los $3$ (teniendo en cuenta que ellos no pueden ser repeticiones). Finalmente podemos permutar estos dos paréntesis de dos maneras, por lo que me dio en el número anterior.

Es este razonamiento correcto?. Si no ¿cómo hace uno para encontrar el número de elementos de tales clases conjugacy.

Como siempre, cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

De manera más sistemática, ha $n!$ opciones para organizar $1,\ldots, n$. Lugar en el arentheses patrón en este fin de obtener un elemento de la clase conjugacy. Para cada una de las $r$-ciclo, se divide por $r$, ya que sólo el orden cíclico, dentro de un ciclo juega un papel, no se que elemento que empezar. Entonces, si hay $n_r$ ciclos de longitud $r$, divida por $n_r!$ como el orden en el que los ciclos se enumeran no es importante. Tenga en cuenta que esto debe hacerse también para los ciclos de longitud $1$!

Esto nos da $$ \frac{n!}{\prod_{r}r^{n_r}n_r!} $$ Así, en $S_5$, $\frac{5!}{2\cdot 3}$ conjugados de $(1\,2)(3\,4\,5)$. Del mismo modo, hay $\frac{7!}{2\cdot2\cdot 2!\cdot 3!}$ conjugados de $(1\,2)(3\,4)$$S_7$.