restringido álgebras de lie definición

Question

Jacobson (álgebras de Lie, p.187) define lo que se entiende por un restringido Mentira álgebra: Def4: Una restringida Mentira álgebra, $L$, de carácter $p\not = 0$ es una Mentira álgebra de la característica $p$ en los que no se define un mapeo $a\rightarrow a^{[p]}$ tal que

1. $(\alpha a)^{[p]}=\alpha^p a^{[p]}$
2. $(a+b)^{[p]}=a^{[p]}+b^{[p]}+\sum_{i=1}^{p-1}s_{i}(a,b)$ donde $is_{i}(a,b)$ es el coeficiente de $\lambda^{i-1}$ $a(ad(\lambda a+b))^{p-1}$ y
3. [$ab^{[p]}$]$=a(ad b)^p$

Mis preguntas se encuentran en la comprensión de cómo la identidad 2. En la página 187 Jacobson introduce el polinomio anillo de $\mathfrak U(\lambda)$ y escribe $(\lambda a+b)^p= \lambda ^{p} a^p+b^p +\sum_{i=1}^{p-1}s_{i}(a,b)\lambda^{i}$ donde $s_{i}(a,b)$ es un polinomio en a $a,b$ del total de grado $p$. Así, en particular, para $p=2$ tenemos $(\lambda a+ b)^2=\lambda^2a^2+b^2+\lambda(ab+ba)$ por lo que la conclusión de que la $s_{1}(a,b)=ab+ba$

Tengo dos preguntas. En primer lugar, en la parte inferior de la página 187, dice, de que si p=2, entonces $s_{1}(a,b)=$[$a,b$], pero [$a,b$]$=ab-ba$, no $ab+ba$ al igual que yo tengo arriba. Donde está mi error?

Segundo, él distingue $(\lambda a+b)^p= \lambda ^{p} a^p+b^p +\sum_{i=1}^{p-1}s_{i}(a,b)\lambda^{i}$ con respecto al $\lambda$ y consigue $\sum^{p-1}_{i=0}(\lambda a+b)^ia(\lambda a+b)^{p-i-1}=\sum_{i=1}^{p-1}is_{i}(a,b)\lambda^{i-1}$. No entiendo cómo el lado izquierdo. Me gustaría ver, o al menos que me explicó cómo diferenciar el lado izquierdo. Gracias por su tiempo.

Answer 1

La motivación para el segundo axioma de una restringida mentira álgebra como están listados aquí es el teorema del binomio. Dado cualquier $k$-algbera $A$ $k$ un campo de característica $p$, podemos definir un soporte en $A$ $[a,b]:=ab-ba$ $[p]$- mapa de poder por $a^{[p]}:=a^p$. En realidad, es bastante difícil ejercicio para demostrar que con esta estructura, $A$ es de hecho un restringido mentira álgebra (si $A$ fueron conmutativa, el ejercicio sería mucho más fácil).

En el caso de que $A$ es conmutativa, el segundo axioma aplicado a $A$ es exactamente el teorema del binomio en el carácter $p$: $(a+b)^p=a^p+b^p$. En el caso general de que $A$ no es conmutativa, el centro términos son cero, y están dados por la $s_i(a,b)$.

Os animo a visitar esta para valores pequeños de a $p$. Por ejemplo, escriba $(a+b)^5$ no suponiendo que $ab=ba$ y consulte los términos centrales que surgen.