Hay una relación asimétrica positiva definida de segundo orden lineal diferencial de operador?

Question

El segundo orden diferencial operador es $Lu=-\sum_{i,j=1}^n (a^{ij}(x)u_{x_i})_{x_j} +\sum_{i=1}^n b^i(x) u_{x_i} +c(x) u$. Nos dicen que es positiva definida si no exsits constante $\beta>0$ tal que $\langle Lu,u\rangle =\int_{\Omega} \left( \sum_{i,j=1}^n a^{ij}(x) u_{x_i}u_{x_j} +\sum_{i=1}^n b^i(x) u_{x_i} u+c(x)u^2 \right) dx\geq \beta \| u\|_{H_0^1(\Omega )}^2$ donde $\Omega$ es un dominio acotado de $\mathbb{R}^n$

Nos dicen que es simétrica si $\langle Lu,v\rangle =\langle Lv,u\rangle$ cual es, obviamente, equivalente a $b^i=0,\forall i$.

Mi pregunta es: si algunos de $b^i\neq 0$, aún hay oportunidad para $L$ a ser positiva definida?

Comentario: Es muy claro si $L$ es de forma elíptica(es decir,, $\exists \theta>0,\text{ s.t. }\sum_{i,j=1}^n a^{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq \theta \| \xi\|^2$ ), $b^i=0,c\geq 0$ llevará a $L$'s positivo de la certeza.

Comentario: Es fácil encontrar una relación asimétrica positiva definida la matriz:$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Answer 1

Supongamos por ejemplo que $b^i\in L^\infty(\Omega)$ y elija $\alpha$ tal que $\|b^i\|_\infty\leq\alpha$ todos los $i=1,...,n$.

Tenga en cuenta que \begin{eqnarray} \int_\Omega\sum_{i=1}^n b^i(x)u_{x_i}u &=& -\int_\Omega \sum_{i=1}^n |b^i(x)u_{x_i}u| \nonumber \\ &\geq & -\alpha\sum_{i=1}^n\|u_{x_i}\|_2\|u\|_2\nonumber \\ &\geq & \tag{1}-\alpha n\|\nabla u\|_2\|u\|_2\end{eqnarray}

Ahora vamos a utilizar Joven de la desigualdad $ab\leq\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}$, $a,b\geq 0$ para llegar desde $(1)$ $$\tag{2}\int_\Omega\sum_{i=1}^n b^i(x)u_{x_i}u\geq-\alpha n\left(\frac{\|\nabla u\|_2^2}{2}+\frac{\|u\|_2^2}{2}\right)$$

Ahora, supongamos que, por ejemplo, $L$ es de forma elíptica como en su definición y asumir que $c(x)\geq -\beta$ donde $\beta>0$. Llegamos de $(2)$ que

\begin{eqnarray} \langle Lu,u\rangle &\geq& \theta\|\nabla u\|_2^2 -\alpha n\left(\frac{\|\nabla u\|_2^2}{2}+\frac{\|u\|_2^2}{2}\right) -\beta\|u\|_2^2 \nonumber \\ &=& \tag{3}\left(\theta-\frac{\alpha n}{2}\right)\|\nabla u\|_2^2-\left(\frac{\alpha n}{2}+\beta\right)\|u\|_2^2 \\ &\geq& \tag{4} \left(\theta-\frac{\alpha n}{2}\right)\|\nabla u\|_2^2-\frac{1}{\lambda_1}\left(\frac{\alpha n}{2}+\beta\right)\|\nabla u\|_2^2 \\ &=& \tag{5}\left(\theta-\frac{\alpha n}{2}\left(1+\frac{1}{\lambda_1}\right)-\frac{\beta}{\lambda_1}\right)\|\nabla u\|_2^2 \end{eqnarray}

De $(3)$ $(4)$tengo uso de Poincaré de la desigualdad y la $\lambda_1$ es el primer autovalor asociado con $(-\Delta,H_0^1(\Omega)$). De $(5)$ vemos que no es posible imponer algunas condiciones en $\theta,\alpha,\beta$ de tal manera que $L$ es positiva definida.

Nota: Esto es sólo un ejemplo, hay más condiciones generales.