Determinar el límite de una serie, que involucran funciones trigonométricas: $\sum \frac{\sin(nx)}{n^3}$ $\frac{\cos(nx)}{n^2}$

Question

He a $$\sum^\infty_{n=1} \frac{\sin(nx)}{n^3}.$$

Me hizo probar la convergencia: $0<\theta<1$

$$\left|\frac{\sin((n+1)x)n^3}{(n+1)^3\sin(nx)}\right|< \left|\frac{n^3}{(n+1)^3}\right|<\theta$$

Ahora quiero para determinar el límite. He encontrado una similar a prueba, pero necesito ayuda para entender; y es así. :

$$ F(x):=\sum^\infty_{n=1} \frac{\cos(nx)}{n^2}$$ Como para esta serie hemos convergencia uniforme. La serie de derivados: $$-\sum^\infty_{n=1} \frac{\sin(nx)}{n}$$ converges for every $\delta >0$ on the interval $[\delta, 2\pi\delta]$ uniform against $\frac{x-\pi}{2}$

así, para cada $x \in]0,2\pi[$ : $\displaystyle F'(x) = \frac{x-\pi}{2}$$\displaystyle F(x) = \left(\frac{x-\pi}{2}\right)^2+c,c\in \mathbb{R}$. Para determinar la constante podemos calcular:

$$ \int^{2\pi}_0F(x)dx=\int^{2\pi}_0\left(\frac{x-\pi}{2}\right)^2dx+\int^{2\pi}_0cdx=\frac{\pi^3}{6}+2\pi c$$ (Pregunta: ¿por Qué hacemos esto consigue el constante?)

Debido a $\int^{2\pi}_0cos(nx)dx= 0 \forall n≥1$ tenemos:

$$\int^{2\pi}_0F(x)dx = \sum^\infty_{n=1}\int^{2\pi}_0\frac{\cos(nx)}{n^2}=0,$$ so $c = -\frac{\pi^2}{12}$. (Question: How does he get to that term $\frac{\pi^2}{12}$?) Con lo que hemos demostrado, que

$$\sum^\infty_{n=1} \frac{\cos(nx)}{n^2}=\left(\frac{x-\pi}{2}\right)^2-\frac{\pi^2}{12}$$

Si usted puede explicar una de las preguntas acerca de esta prueba, o si usted sabe cómo calcular el límite en mi situación anterior, sería genial si usted deja un post rápido aquí, gracias!

Answer 1

Podemos seguir la prueba en el post indicado por Marko Riedel. Reescribir $$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{\sin\left(nx\right)}{n^{3}}=x^{3}\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{\sin\left(nx\right)}{\left(nx\right)^{3}}$$ y utilice el hecho de que el Mellin transformar la identidad para armónica sumas con función de base $g(x)$ es$$\mathfrak{M}\left(\underset{k\geq1}{\sum}\lambda_{k}g\left(\mu_{k}x\right),\, s\right)=\underset{k\geq1}{\sum}\frac{\lambda_{k}}{\mu_{k}^{s}}\, g\left(s\right)^{*}$$ donde $g\left(s\right)^{*}$ es la transformada de Mellin $g\left(x\right)$ . Así que en este caso se ha $$\lambda_{k}=1,\,\mu_{k}=k,\, g\left(x\right)=\frac{\sin\left(x\right)}{x^{3}}$$ y por lo que su Mellin transformar es $$g\left(s\right)^{*}=\Gamma\left(s-3\right)\sin\left(\frac{1}{2}\pi\left(s-3\right)\right).$$ La observación de que $$\underset{k\geq1}{\sum}\frac{\lambda_{k}}{\mu_{k}^{s}}=\zeta\left(s\right)$$ tenemos $$x^{3}\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{\sin\left(nx\right)}{\left(nx\right)^{3}}=\frac{x^{3}}{2\pi i}\int_{\mathbb{C}}\Gamma\left(s-3\right)\sin\left(\frac{1}{2}\pi\left(s-3\right)\right)\zeta\left(s\right)x^{-s}ds=\frac{x^{3}}{2\pi i}\int_{\mathbb{C}}Q\left(s\right)x^{-s}ds.$$ Tenga en cuenta que sinusoidal plazo cancela polos en impares enteros negativos y zeta cancela polos incluso números enteros negativos. Así que tenemos polos sólo en $s=0,1,2.$ Y el cálculo es$$\underset{s=0}{\textrm{Res}}\left(Q\left(s\right)x^{-s}\right)=\frac{1}{12}$$ $$\underset{s=1}{\textrm{Res}}\left(Q\left(s\right)x^{-s}\right)=-\frac{\pi}{4x}$$ $$\underset{s=2}{\textrm{Res}}\left(Q\left(s\right)x^{-s}\right)=\frac{\pi^{2}}{6x^{2}}$$ por lo$$\underset{n=1}{\overset{\infty}{\sum}}\frac{\sin\left(nx\right)}{n^{3}}=\frac{\pi^{2}x}{6}-\frac{\pi x^{2}}{4}+\frac{x^{3}}{12}.$$

Answer 2

$$\sum^\infty_{n=1}\frac{sin(nx)}{n^3}= ?$$

Sabemos que $$\sum^\infty_{n=1}\frac{sin(nx)}{n}= \frac{x-\pi}{2}$$.

$$(\frac{sin(nx)}{n^3})''= (\frac{cos(nx)}{n^2})'=-\frac{sin(nx)}{n}$$

$$-\sum^\infty_{n=1}\frac{sin(nx)}{n}= -(\frac{x-\pi}{2})$$

$$ - \int \frac{x-\pi}{2}= -\int \frac{x}{2}-\frac{\pi}{2} = \frac{x^2}{4}+\frac{\pi x}{2}+c$$

$$\int\frac{x^2}{4}+\frac{\pi x}{2}+c=\frac{\pi x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+xc$$

También podemos determinar la constante. Sabemos que $-f'(0) = 0 + c$.

$$-\sum^\infty_{n=1} \frac{cos(n0)}{n^2}= - \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^2} = -\frac{\pi^2} {6} = 0+c$$

$$-\int\frac{\pi^2} {6} = -\frac{x\pi^2} {6}$$ Lo

$$\sum^\infty_{n=1}\frac{sin(nx)}{n^3}= \frac{\pi x^2}{4}+\frac{x^3}{12}+(-\frac{x\pi^2}{6}) = \frac{x\pi^2}{6}-\frac{\pi x^2}{4}+\frac{x^3}{12}$$