Nota: Hay un breve resumen en la parte inferior.
En realidad, esto también se describe en Nielsen&Chuang: No se aprende sobre las medidas generales, porque son completamente equivalente a las mediciones proyectivas + la evolución unitaria del tiempo + los sistemas auxiliares, todo lo cual se describe en su formalismo QM habitual.
El postulado de la medición
Empecemos por el principio. Formulemos primero el postulado habitual de la mecánica cuántica, tal como la conoces:
Postulado de la medida (primer curso):
Las mediciones se describen mediante medidas con valor de proyección definidas por la medida espectral de un observable (operador autoadjunto). El estado de la medida posterior es la proyección sobre el subespacio de la medida.
Ahora, además de esto, tenemos un montón de otros postulados, en particular, tenemos el postulado de que la evolución cuántica se rige por la ecuación de Schrödinger por lo que la evolución del tiempo es una evolución unitaria. Todo eso es muy bonito, pero cuando vas al laboratorio, descubres que eso no es lo que ocurre.
Como se señala en Nielsen & Chuang, parece que a veces, el estado cuántico se destruye después de las mediciones (la medición no es una "medición de no-demolición"), por lo que el estado después de la medición no parece estar bien descrito por una proyección en este eigespacio. Pero, además, en realidad se descubre que su evolución no es según un Hamiltoniano y no es unitaria. La energía puede entrar en el sistema o salir de él, dependiendo de lo que hagas.
¿Por qué? El problema clave del que hay que darse cuenta es que todos los postulados de su primer curso se refieren a lo que llamamos un "sistema cerrado". Ninguno de ellos establece realmente este requisito, pero todos lo necesitan. Sólo en un sistema cerrado se conserva la energía (como en la mecánica clásica), por lo que podemos esperar que la evolución del tiempo sea unitaria. Igualmente, sólo en un sistema cerrado podemos esperar que las mediciones se describan siempre mediante mediciones proyectivas.
Evolución temporal de los sistemas cuánticos abiertos
Entonces, ¿qué pasa con sistemas cuánticos abiertos es decir, sistemas en los que además de nuestro sistema $S$ con un espacio de Hilbert $\mathcal{H}_S$ Tenemos un entorno incontrolado $E$ (como en el laboratorio)? Consideremos la evolución del tiempo como un caso de entrenamiento, porque es mucho más fácil de entender desde la intuición clásica -¡por cierto, tenemos el mismo problema en la mecánica clásica!
En un sistema abierto, siempre que sepamos lo que hace el entorno, podemos asignar un espacio de Hilbert $\mathcal{H}_E$ calcular el Hamiltoniano en el sistema combinado $\mathcal{H}_S\otimes \mathcal{H}_E$ hacer la evolución en el tiempo y trazar el entorno (la traza parcial equivale a olvidar el entorno y sólo considerar el sistema $S$ ). En otras palabras, habiendo preparado un estado $\rho_S$ del sistema y asumiendo que no está correlacionado con un estado del entorno $\rho_E$ (esto se puede debatir), el estado de evolución temporal $\rho_S$ viene dada por
$$ T(\rho)= \operatorname{tr}_E(U(\rho_S\otimes \rho_E)U^*) $$
donde $\operatorname{tr}_E$ es la traza parcial. Pero esto es muy engorroso. No siempre sabemos lo que hace el entorno. Así que en lugar de decir que el sistema cuántico abierto es parte de un sistema cerrado más grande que experimenta una evolución temporal unitaria $U$ podemos directamente especificar la evolución del tiempo especificando $T$ . Entonces, $T$ no será una evolución temporal unitaria, sino una mapa completamente positivo . En la mecánica clásica, se hace lo mismo: en lugar de considerar el Lagrangiano/Hamiltoniano de todo el sistema, que se puede desconocer, también se puede intentar considerar sólo una parte de ese sistema y describirlo mediante un ecuación maestra (esto se hace habitualmente en mecánica estadística). Lo mismo puede hacerse en la mecánica cuántica, es decir, mediante la ecuación maestra cuántica .
Así que lo que quiero argumentar es lo siguiente:
- Utilizar la evolución temporal unitaria o los mapas completamente positivos es, en definitiva, lo mismo (matemáticamente).
- En el laboratorio, siempre habrá ruido del entorno, por lo que el sistema nunca estará cerrado.
- Las evoluciones temporales unitarias son torpes, porque necesitan que se especifique el entorno por completo, lo que puede ser difícil o casi imposible de hacer, por lo que es mucho más agradable trabajar sólo con el sistema abierto.
- La definición de un mapa completamente positivo le permite hacerlo. Por lo tanto, es un postulado "mejor" en un sentido físico, porque elimina problemas clave al aplicar el modelo a su laboratorio.
Mediciones en sistemas cuánticos abiertos
Esencialmente, ahora tenemos que hacer exactamente lo mismo para las mediciones que hicimos para la evolución unitaria del tiempo. ¿Cómo se ven las mediciones si se restringen a un subsistema?
[Un pequeño inciso: Añadamos otra complicación: Las mediciones no son realmente instantáneas, algunas llevan tiempo. Por ejemplo, supongamos que tenemos un átomo con tres estados con energías diferentes, uno muy excitado $E_3$ y dos estados menos excitados (uno de ellos puede ser el estado de tierra, llamémoslos $E_1$ y $E_2$ ). Así que sabes que tu sistema estará en cualquiera de los últimos estados. Midiendo cuál de ellos, puedes hacer brillar un láser con una de las dos energías de transición al estado excitado, digamos que la energía del láser es $E_3-E_1$ . Si obtiene una emisión inducida, su sistema estaba en estado $E_1$ Si no lo haces, tiene que ser en $E_2$ . Por supuesto, esto lleva tiempo, por lo que el sistema evolucionará (y no será una evolución libre, porque el láser está haciendo algo), por lo que una simple medición no es sólo una medición proyectiva, pero casi nunca podemos separarla completamente de una evolución temporal. A menudo, esto no es un problema, a veces puede serlo].
¿Qué pasa si hacemos esto? ¿Cómo se ve la medición en los subsistemas? Pues bien, resulta que al igual que los mapas completamente positivos son las restricciones de la evolución temporal unitaria, los POVM son las restricciones de las mediciones.
También se puede ver esto desde Teorema de la dilatación de Naimark : Este teorema nos dice, básicamente, que toda POVM es, en última instancia, una medida proyectiva si tenemos en cuenta algún entorno. Así que en este sentido, el enfoque POVM y las mediciones proyectivas habituales son matemáticamente equivalentes, si uno siempre factoriza el entorno + quizás alguna evolución unitaria adicional. Sin embargo, tenemos lo mismo que antes:
El formalismo de los POVMs es más adecuado para trabajar, porque no requiere que conozcamos o pensemos en el entorno. Podemos obtener nuestros operadores de medida del experimento y no tenemos que preocuparnos de que sean proyecciones o no (en este último caso, el sistema seguramente no es cerrado)
Así que el formalismo POVM no nos da nada conocido formal y matemáticamente, pero es una mejor manera de pensar en los sistemas cuánticos reales, que normalmente no son sistemas cerrados.
Medidas generales y un nuevo postulado
Ahora tenemos POVMs. Podríamos sustituir nuestro postulado por el postulado POVM, que cubriría muy bien los resultados de los experimentos. Entonces, ¿por qué no lo hacemos? ¿Por qué no lo hacen Nielsen y Chuang?
Porque en realidad hemos perdido algo: el POVM se introdujo realmente sólo para calcular las probabilidades de resultado, pero si empezamos con un POVM, no está claro cómo obtenemos un estado posterior a la medición. Muy a menudo, no nos importa, pero a veces sí, así que deberíamos pensar en esto de nuevo (por ejemplo, cuando consideramos "la forma óptima de distinguir un conjunto de estados cuánticos", de momento no nos importa el estado post-medición, así que los POVM son todo lo que necesitamos).
Este "problema" del estado posterior a la medición puede abordarse de varias maneras, una de ellas es tomar un POVM con operadores de efecto $E_i$ , especifique una raíz cuadrada $M_i^*M=E$ y definir una medida general (que, además de que para cada medida generalizada $\{M_m\}_m$ , $E_m:=M^*M$ define un POVM le dice que el formalismo de los POVM y las mediciones generales es matemáticamente equivalente ). Ahora bien, las raíces cuadradas no son únicas, así que para hablar del estado posterior a la medición, tendrás que referirte a los experimentos (o especificar el entorno y definir la medición allí, lo que te proporcionará una medición proyectiva única en el sistema cerrado).
Si quieres otra forma de pensar en esto, puedes elegir otro formalismo, <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_instrument" rel="nofollow"><em>instrumentos cuánticos </em></a>que esencialmente hace lo mismo].
Así que, al final, sustituimos nuestro antiguo postulado (sistema cerrado) por el postulado general (sistema abierto):
Postulado de medición (Nielsen&Chuang):
Las mediciones se describen mediante un conjunto de operadores de medición $\{M\}_m$ que no son necesariamente proyecciones sino que cumplen $\sum_m M^*_mM_m=\mathbf{1}$ . El estado posterior a la medición de $m$ es el estado tras la aplicación de $M_m$ .
Por lo que he argumentado anteriormente, no debería sorprender que los dos postulados sean matemáticamente equivalentes. Más precisamente, si aumentamos las mediciones POVM/generales mediante la evolución unitaria del tiempo y la introducción de sistemas de entorno, cualquier medición de este tipo debería proceder realmente de una medición proyectiva. Este era mi post original:
Esquema de la prueba de la equivalencia de los dos postulados
Esto se describe en las páginas 94 a 95 de Nielsen & Chuang:
Dejemos que $\{M\}_m$ sea una "medida general" con $m=1,\ldots,n$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . Definir $U\in \mathcal{B}(\mathcal{H}\otimes \mathbb{C}^n)$ (es decir $U$ es un operador acotado en el sistema compuesto) mediante la definición:
$$ U|\psi\rangle|0\rangle= \sum_{m=1}^n (M_m|\psi\rangle)|m\rangle $$
donde $|m\rangle$ es la base ortonormal estándar de $\mathbb{C}^n$ . Entonces puede demostrar que $U$ puede extenderse a una operación unitaria $U\in \mathcal{B}(\mathcal{H}\otimes \mathbb{C}^n)$ .
Ahora se define la medida proyectiva $P$ con proyecciones $$P_m:=\mathbf{1}_{\mathcal{H}}\otimes |m\rangle\langle m|$$
y lo que se puede mostrar es que la primera actuación $U$ y luego medir la medida proyectiva $P$ y trazar el sistema $\mathbb{C}^n$ ("olvidarse" del sistema) equivale a realizar la medición generalizada $M_m$ . En particular:
$$ \frac{P_m U|\psi\rangle |0\rangle}{\sqrt{\langle \psi|\langle 0|U^*P_mU|\psi\rangle|0\rangle}}= \frac{(M_m|\psi\rangle)|m\rangle}{\sqrt{\langle \psi|M_m^*M_m|\psi\rangle}} $$
y las probabilidades también se suman. Así que las mediciones generales no añaden nada nuevo.
Sobre los sistemas cerrados (cuánticos):
Por supuesto, tenemos construido el medio ambiente. ¿Quién nos dice que éste es el entorno físico "real" o que la medición en el sistema cerrado real también es proyectiva? Nadie, en realidad. Esta es otra de las suposiciones que he hecho implícitamente. Sin embargo, creo que este sistema tiene otro problema más profundo: viniendo del lado experimental/operativo, lo que realmente es ¿un sistema cuántico cerrado? A menos que (tal vez) consideremos todo el universo, nunca podremos trabajar realmente con un sistema completamente cerrado, y no podemos considerar todo el universo. Creo que en realidad hay argumentos (fundamentos de nivel superior/cuántico) que nos dicen que los postulados son completamente equivalentes si existe un sistema cuántico cerrado, pero esto es filosófico.
Pero esto significa que hemos añadido algo "nuevo": Nos deshicimos de la necesidad de sistemas cerrados (si también reemplazamos todos los otros axiomas).
Lecciones aprendidas: (tl;dr)
Entonces, ¿cuál es la esencia? He argumentado que las mediciones generalizadas no son nada nuevo, ni física, ni matemáticamente, si conocemos la diferencia de los sistemas cuánticos abiertos y cerrados. Por lo tanto, no añaden nada que no se obtuviera ya del antiguo formalismo, de modo que tu curso de Mecánica Cuántica 101 no está equivocado (salvo problemas con la definición de "sistemas cuánticos cerrados").
Sin embargo, las POVM (o quizás las medidas generales) son la forma "correcta" de pensar en las medidas. El paradigma de los sistemas cuánticos abiertos, que es muy importante para los experimentos del mundo real, está inherentemente inscrito en los POVM y también nos dicen por qué a veces las mediciones parecen no ser repetibles en el laboratorio. Así que los POVM no son una construcción teórica que flota en el espacio filosófico (sistemas cuánticos cerrados), sino más bien operativo descripciones de las mediciones. Además, son mejores para trabajar cuando se describen situaciones del mundo real.
Como nota final: las medidas generales no se tienen muy en cuenta en la literatura. Peter Shor tuvo la amabilidad de señalar un ejemplo (antiguo) de su uso con este Peres, papel de Wooters (¡de pago!). Sin embargo, normalmente me parece que la gente trabaja con POVMs en lugar de medidas generales.
