una sola partícula wavepackets en QFT y medición de la posición

Question

Considere la posibilidad de un campo escalar $\phi$ descrito por el de Klein-Gordon densidad Lagrangiana $L = \frac{1}{2}\partial_\mu \phi^\ast\partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^\ast\phi$.

Como está escrito en todos los graduados QM libro de texto, el correspondiente conservadas a 4-actual $j^\mu = \phi^\ast i \overset{\leftrightarrow}{\partial^\mu} \phi$ da no-positivo-definida $\rho=j^0$. Si hemos de interpretar $\phi$ como una función de onda de un relativista de la partícula, esto es un gran problema porque queremos interpretar $\rho$ como una densidad de probabilidad de encontrar la partícula.

El argumento estándar para guardar KG ecuación es que KG ecuación describe tanto la partícula y su antipartícula: $j^\mu$ es en realidad la corriente de carga en lugar de la partícula actual, y el valor negativo de $\rho$ sólo expresa la presencia de la antipartícula.

Sin embargo, parece que esta negativa de densidad de probabilidad problema aparece en QFT así. Después de la cuantización, obtenemos un (gratis) la teoría cuántica de campos que describe cargada de spin 0 partículas. Nos normalizar una partícula estados $\left|k\right>=a_k^\dagger\left|0\right>$ relativistically:

$$ \langle k\left|p\right>=(2\pi)^3 2E_k \delta^3(\vec{p}-\vec{k}), E_k=\sqrt{m^2+\vec{k}^2} $$

La antipartícula estados $\left|\bar{k}\right>=b_k^\dagger \left|0\right>$ son de igual manera normalizada.

Considere la posibilidad de una versión localizada del paquete de onda de una partícula $\left| \psi \right>=\int{\frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2E_k} f(k) \left| k \right>}$, que se supone que para ser normalizado. Los asociados de la función de onda está dada por

$$ \psi(x) = \langle 0|\phi(x)\left|\psi\right> = \int{\frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2E_k} f(k) e^{-ik\cdot x}} $$

$$ 1 = \langle\psi\left|\psi\right> = \int{\frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2E_k} |f(k)|^2 } = \int{d^3x \psi^\ast (x) i \overset{\leftrightarrow}{\partial^0} \psi (x)}$$.

Quiero obtener la distribución de probabilidad sobre el espacio. Las dos opciones posibles son:

1) $\rho(x) = |\psi(x)|^2$ : esto no tiene deseada de Lorentz-covariante propiedades y no es compatible con la normalización de la condición anterior.

2) $\rho(x) = \psi^\ast (x) i \overset{\leftrightarrow}{\partial^0} \psi(x)$ : En el no-límite relativista, Esto se reduce a 1) además de la normalización de los factores. Sin embargo, en general, esta puede ser negativa en un cierto punto x, incluso si sólo tenemos una partícula desde el principio, con exclusión de las antipartículas.

¿Cómo debo interpretar este resultado? Se relaciona con el hecho de que no podemos localizar una partícula con la escala de longitud menor que la longitud de onda Compton ~ $1/m$ ? (Aún así, creo que, para reducir el QFT en QM en algunos adecuado límite, debe haber algo que se reduce a la distribución de probabilidad sobre el espacio cuando sacamos el promedio sobre la longitud de la $1/m$ ... )

Answer 1

La siguiente no totalmente respuesta OP pregunta, más bien, esta va a ser una aclaración de sutilezas y dificultades sobre el tema. Aviso que a veces voy a usar el mismo notaciones como OP, pero no necesariamente el mismo significado y haré de ellos claro en el contexto.

El uso de la "función de onda"

Tiene dos significados posibles, cuando la gente se refiere a algo como wavefunctions :

(1). La colección de algunas de las funciones $g(x)$ proporciona un balance energético positivo, unitaria representación de la base del grupo de simetría(en nuestro caso sólo el grupo de Poincaré).

(2). En adición a (1) estar satisfechos, debemos ser capaces de interpretar $|g(x)|^2$ como la distribución de probabilidad de encontrar la partícula en $(\mathbf{x},\mathbf{x}+d\mathbf{x})$. Realmente tiene que ser de la forma$|g(x)|^2$, según el estándar de los axiomas de la mecánica cuántica, siempre que interpretar $g(x)$ interior del producto $\langle x|g\rangle$ donde $\langle x|$ es un eigen sostén de la posición del operador. Voy a hablar de lo que la posición de operador significa más tarde.

La 2ª significado es, por supuesto, mucho más fuerte y OP es la búsqueda de una función de onda en este sentido. Sin embargo, el $\psi(x)$ escrito por OP es sólo una función de onda en el 1er sentido, porque claramente $\langle 0|\phi(x)$ no puede ser eigen bras de cualquier Hermitian posición de operador, fácil de ver desde el hecho de que ellos ni siquiera son mutuamente ortogonales, es decir,$\langle 0|\phi(x)\phi^\dagger(y)|0\rangle\neq0$, incluso cuando se $x$ $y$ son spacelike separados. Como consecuencia, $\int d^3\mathbf{x}|\psi(x)|^2\neq1$ OP ha indicado. Por otra parte, $|\psi(x)|^2$ es invariante bajo la transformación de Lorentz, pero una distribución de densidad debe transformar como el 0 componente de un 4-vector en el espacio-tiempo relativista, como el OP también ha notado.

La versión traducida de los estados y la posición del operador(Newton-Wigner)

En esta sección voy a reformular su mayoría(por la claridad conceptual en el sacrificio de la claridad técnica) lo que está escrito en este papel.

Lo que es una buena definición de la posición de operador de una sola partícula de los estados? En primer lugar tenemos que pensar acerca de lo que la mayoría de los espacialmente localizados los estados, y entonces sería natural para llamar a estos estados $|\mathbf{x} \rangle$, entonces también es natural para llamar al operador tener estos estados como los estados propios de la posición del operador. Parece bastante razonable y no es mucho pedir, para exigir localizada a los estados a que tiene las siguientes propiedades:

(a). La superposición de dos localizada estados localizados en la misma posición en el espacio debe volver a ser un estado localizado en la misma posición.

(b). Localizada estados transformar correctamente en espacial de rotación, es decir, $|\mathbf{x} \rangle \to |R\mathbf{x} \rangle$ bajo una rotación $R$.

(c). Cualquier espacial de la traducción en una versión localizada del estado genera otra localizada estado que es ortogonal a la original, que es, $\langle\mathbf{x}+\mathbf{y}|\mathbf{x} \rangle=0$ si $\mathbf{y}\neq 0$.

(d). Algunos técnicos de la regularidad de la condición.

Resulta que estas condiciones son lo suficientemente restrictivo únicamente para definir localizada estados $|\mathbf{x}\rangle$. Puede ser calculado que el endeudamiento OP notaciones y la normalización de la convención, si $|\psi\rangle=\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2E_k} f(k) |k\rangle$, entonces(incluyendo el tiempo de la dependencia) $$\langle x|\psi\rangle=\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^3 \sqrt{2E_k}} f(k) e^{-ik\cdot x},$$

y esto (como era de esperar) da $\int d^3\mathbf{x}|\langle x|\psi\rangle|^2=1$. Sin embargo, esta no es la solución completa para la OP del problema, porque podemos demostrar que, aunque no es tan mala como la transformación de las invariantly, $|\langle x|\psi\rangle|^2$ no es tan buena como la transformación como un 0 componente. La razón subyacente es, como ya se dio cuenta de por Newton y Wigner, que un impulso en un localizada estado generará un deslocalizada estado, por lo que la interpretación es realmente dependen de la trama.

Como me negaba, no sé si hay una completa solución satisfactoria, o si es que es posible, pero espero que ayude a aclarar la cuestión.

Apéndice: Algunas propiedades interesantes de Newton-Wigner(NW) de los estados y del operador

Me decido a hacer un apéndice, ya que creo que esto no es directamente relevante aún muy interesante(todos los siguientes son para escalar campo, y NW también analiza spinor campo en su papel):

(1). Un estado localizado en el origen, se proyectan a la bras $\langle 0|\phi(x)$, tiene la forma

$$\langle 0|\phi(x)|\mathbf{x}=0\rangle=\left(\frac{m}{r}\right)^{\frac{5}{4}}H_{\frac{5}{4}}^{(1)}(imr),$$ donde $r=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{\frac{1}{2}}$ $H_{5/4}^{(1)}$ es una función de Hankel de la primera clase. Así que no es una función delta de bajo tales bras.

(2)El NW de la posición de operador de $q_i (i=1,2,3)$ que actúa sobre el impulso de espacio en función de onda(definido como $f(k)$ en OP notation) es $$q_if(k)=-i\left(\frac{\partial}{\partial k_i}+\frac{k_i}{2E_k}\right)f(k),$$ y en nonrelativistic limitar el segundo término se aproxima a 0, dando la conocida expresión de una posición de operador. También se puede obtener, si $\Psi(x)=\langle 0|\phi(x)|\Psi\rangle$, luego $$q_i\Psi(x)=x_i\Psi(x)+\frac{1}{8\pi}\int\frac{\exp(-m|\mathbf{x-y}|)}{|\mathbf{x-y}|}\frac{\partial \Psi(y)}{\partial y_i}d^3\mathbf{y},$$ y aquí la nonrelativistic límite se oculta en la unidad de $m$, al realizar la conversión a unidades del SI, el $m$ en el exponente es realmente la inversa de la longitud de onda de Compton, que puede ser tomada como $\infty$ por de bajo de la energía física, por lo que nuevamente el 2º plazo se desvanece.

(3)$[q_i,p_j]=i\delta_{ij}$.

Answer 2

Un libro de texto de la explicación de este problema es interpretar la densidad de probabilidad como una densidad de carga. Sin embargo, esta explicación no tiene sentido en el caso de un real de Klein-Gordon campo.

Hay otra solución en la que se trabaja con el siguiente Hamiltoniano para un spinless de partículas:

$H(p, x) = + \sqrt{p^2+m^2}+ V(x)$

Este Hamiltoniano es positiva definida por la construcción, pero es una fracción de pseudo-operador diferencial. Como consecuencia, su "ecuación de onda" (nombre de la Salpeter ecuación) después de la cuantización es no local. (Los paréntesis son añadidos, porque no es una ecuación hiperbólica).

Sin embargo, su nonlocality es consistente con la causalidad relativista (la luz de la estructura del cono), por lo tanto, es viable campo relativista de la ecuación de una spinless de partículas.

Este Hamiltoniano permite un probabilística de la interpretación de su "mecánica ondulatoria". Su probabilidad de amplitud vuelve a ser de la forma $\bar{\psi}\psi$ a expensas de los no locales espacial de los componentes de la probabilidad actual. Por favor, consulte el siguiente artículo por Kowalski y Rembielinśki en que explícita construcciones de la positiva definida probabilidad de amplitudes en muchos casos particulares.

El espacio de soluciones de la Salpeter ecuación es un espacio de Hilbert, por lo que puede ser cuantificada para formar un cuántica de campo libre, consulte el siguiente artículo por: J. R. Smith. El relativista de la causalidad se manifiesta también en la segunda versión cuantizada.

Answer 3

Soy un tyro aquí, pero tengo la sospecha de que se están encontrando con que no se puede excluir anti-partículas en un relativista de la teoría cuántica.

Esta línea de razonamiento es presentado por Feynman en sus 1986 Dirac Memorial Conferencia, "La razón de antipartículas", publicado en las Partículas Elementales y las Leyes de la Física.

Él considera que la amplitud de un proceso en el cual un estado inicial $\phi_0$ es dispersada por una "perturbación" en el momento $t_1$ en los estados intermedios, y luego de vuelta a $\phi_0$ después de una segunda perturbación en un momento posterior,$t_2$. El insight: si los estados intermedios están restringidos a sólo energías positivas, no va a ser distinto de cero contribuciones de los estados intermedios, que viajan más rápido que la luz.

Este resultado se sigue de una propiedad de la transformada de Fourier: si

$$f(t) = \int_0^\infty e^{-i \omega t} F(\omega) \, d \omega $$

(es decir, sólo las energías positivas) "$f$ no puede ser cero para cualquier gama limitada de $t$, a menos trivial es cero en todas partes".

La suma de los estados intermedios, tiene exactamente este formulario, así que no importa lo lejos en la distancia, la amplitud será no nulo si $t_2>t_1$. El argumento se completa señalando que estas más rápidas que la luz de soluciones aparecerá, en algunos de Lorentz marcos, para ser tiempo-orden-a la inversa, y por lo tanto como anti-partículas.

Por la misma razón (creo), el positivo de la energía de ola de paquetes se ha construido un no-cero de la amplitud de viajar más rápido que la luz, y por lo tanto no puede ser un relativista de una sola partícula de estado. Múltiples partículas (incluyendo anti-partículas) para el rescate...