Mapa entre Zariski tangente espacios(?)

Question

Deje $f:X\to Y$ ser una de morfismos de schems, y $x\mapsto y:=f(x)$. Entonces tenemos un canónica mapa de $\Phi:T_{X,x}\to T_{Y,y}\otimes_{k(y)}k(x)$ donde $T_{X,x}:=\left( \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2\right)^{\vee}$(doble espacio) y $k(x)$ es el residuo de campo en $x$. Pero no puedo imaginar lo que esta 'canónica' mapa.

Supongo que para un determinado mapa de $\sigma:\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2\to k(x)$, podemos definir un mapa de $\rho:\mathfrak{m}_y/\mathfrak{m}_y^2\otimes_{k(y)}k(x)\to \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2\otimes_{k(y)}k(x)\to k(x)\otimes_{k(y)}k(x)$ cuando la primera flecha es canónica y la segunda flecha es $\sigma \otimes \textrm{Id}_{k(x)}$. Entonces quizá $\Phi(\sigma)=\rho$.

Esto es correcto?

Answer 1

Así, el uso de Hartshorne la notación, tenemos un mapa de $f_x^\#:\mathcal{O}_{Y,y}\to\mathcal{O}_{X,x}$ que restringe y desciende a un mapa de $f_x^\#:{\frak{m}}_y/{\frak{m}}_y^2\to {\frak{m}}_x/{\frak{m}}_x^2$ (desde $(f_x^\#)^{-1}({\frak{m}}_x)={\frak{m}}_y$). Tirando hacia atrás, obtenemos un mapa $$T_{X,x}=\mbox{Hom}_{k(x)}({\frak{m}}_x/{\frak{m}}_x^2,k(x))\to\mbox{Hom}_{k(y)}({\frak{m}}_y/{\frak{m}}_y^2,k(x))\simeq\mbox{Hom}_{k(y)}({\frak{m}}_y/{\frak{m}}_y^2,k(y))\otimes k(x)$$ donde $k(y)$ actúa en $k(x)$$f_x^\#$. Este último $k(x)$-espacio vectorial es, a continuación,$T_{Y,y}\otimes k(x)$.

Editar Como Georges señala a continuación, este último isomorfismo funciona siempre $k(x)$ es una extensión finita de $k(y)$.