Pregunta sobre el producto interior y de Cauchy Schwarz desigualdad

Question

Me pregunto de dónde la siguiente igualdad llegó desde: $$ \langle x , y \rangle = \|x \| \| y \| \cos \theta$$

donde la cosa en el LHS es el interior del producto y de la $\|\cdot\|$ es la norma inducida por $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Qué necesitamos el Cauchy Schwarz desigualdad para demostrar esto? Estoy preguntando, porque estoy leyendo mis notas y no es una prueba de la C. S. - la desigualdad. Es bastante corto, pero más de los siguientes:

Reclamo: $|\langle x,y \rangle | \leq \|x \| \|y \|$

Prueba: Desde $\langle x , y \rangle = \|x \| \| y \| \cos \theta$ tenemos $-\|x \| \| y \| \leq \langle x , y \rangle \leq \|x \| \| y \|$.

Gracias.

Answer 1

Mi favorito de la interpretación de la identidad $$ \langle x,y \rangle = \|x\| \|s\| \cos \theta \etiqueta{1} $$ es que (1) define el ángulo de $\theta \in [-\pi/2,\pi/2]$ entre los vectores $x$$y$. Desde $$ \langle x,y \rangle =\sum_{j=1}^n x_j y_j $$ es la norma interna del producto en $\mathbb{R}^n$, la primaria de Cauchy-Schwarz desigualdad implica que $$ -1 \leq \frac{\langle x,y \rangle}{\|x\| \|s\|} \leq 1, $$ y por lo tanto no existe un único ángulo de $\theta \in \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right]$ tales que (1) se mantiene.

Sin embargo, una vez que se han fijado las $x$$y$, la pregunta se convierte en dos dimensiones en el plano generado por $x$$y$. No se puede aplicar stadard elementales de la geometría para mostrar que el coseno del ángulo entre los dos vectores está dado por (1).

Answer 2

He visto que la prueba dado antes, así que no es fuera de lo común.

Si quieres aprender una prueba de que es independiente de la del coseno, hay otro bonito que incluso para el complejo interior de los productos.

Comienza de esta manera: $0\leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle$. Después de la expansión de este a $0\leq \|x\|^2+|\lambda|^2\|y\|^2-\lambda\langle y,x\rangle-\overline{\lambda}\langle x,y\rangle$ puede utilizar una elección acertada de $\lambda$ para obtener el resultado. (Si usted está satisfecho con el aprendizaje de esta real simétrica, entonces usted puede comenzar con $0\leq \|x\|^2+|\lambda|^2\|y\|^2-2\lambda\langle x,y\rangle$ lugar.)

Si necesitas algo de ayuda para encontrar la acertada elección de $\lambda$, ver esto.

Answer 3

Esta es la generalización de $.$(producto escalar) en 2-D o 3-D espacio vectorial. Dados dos vectores $x,y$, su producto interior es el producto del primer vector con la proyección del segundo vector a lo largo de la dirección del primer vector, que es igual a $||x||.||y||.\cos\theta$ donde $\theta $ representa el ángulo entre los vectores en n-D espacio vectorial.