Supongamos que tengo un poco de avión y una asignación de identidad en los puntos del plano. Veo que la identidad puede expresarse como un producto de un número par de reflexiones, ya que cualquier reflexión en sí mismo como su propio inverso. Pero ¿por qué es imposible de expresar la identidad como el producto de un número impar de reflexiones? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En lhf la solicitud que yo haga con mi comentario en una respuesta:
Una reflexión invierte la orientación del plano: Si usted mira lo que le sucede a un triángulo cuyos rincones se $ABC$ (orientado hacia la izquierda), a continuación, después de una reflexión de las esquinas se ordenó como $ACB$ (orientado a la izquierda). Así que después de la aplicación de un número impar de reflexiones de las esquinas de $ABC$ volverá a ser organizada como $ACB$ hacia la izquierda, así que usted no puede tener la identidad.
Si usted desea hacer esto en una rigurosa prueba, usted puede hacer esto mediante la introducción de los determinantes (de la parte lineal) de una isometría y demostrar que es multiplicativa, es decir $\det(ST) = \det(S)\det(T)$. Ahora una reflexión determinante $-1$, por lo que el factor determinante de la composición de $n$ reflexiones se $(-1)^{n}$. Si $n$ es impar, entonces el determinante será $(-1)^n = (-1)^{2k+1} = -1$. Por otro lado, el factor determinante de la identidad de transformación es $1$, por lo que sólo un número par de reflexiones puede dar la identidad.
