Probabilidad hipergeométrica

Question

Estoy tratando de resolver este problema y no tiene sentido para mí. Las preguntas son las siguientes:

Una caja contiene 5 bolas verdes y 5 bolas naranjas. Se sacan cinco bolas al azar sin reemplazarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que se seleccionen dos bolas verdes y 3 naranjas?

Ahora trabajando a través del problema manualmente llego a esto: (5/10)(4/9)(3/8)(5/7)(4/6) = 0.039

Pero usando las reglas hipergeométricas lo mejor que entiendo me sale esto:

((5,2)(5,0))/(10,2) = .222

y

((5,3)(5,0))/(10,3) = .0833

.222*.083 = .0185

¿Qué es lo que no entiendo aquí? Mi confusión está en el hecho de que estamos seleccionando tanto el verde como el naranja y no sólo buscamos todo naranja o todo verde

Answer 1

Su cálculo manual debería haber multiplicado por ${5 \choose 3}$ o ${5 \choose 2}$ es decir, por $10$ y, de hecho, parece que lo has hecho para conseguir $0.39\ldots$ en lugar de $0.039\ldots$

Si quisieras esto sólo en términos de coeficientes binomiales y factoriales, entonces podrías haber calculado el número de arreglos de tres bolas naranjas y dos verdes, y las formas de elegir tres de cinco naranjas y dos de cinco verdes: $${3+2 \choose 3} \frac{\frac{5!}{3!}\frac{5!}{2!}}{\,\frac{(5+5)!}{(3+2)!}\,} = \frac{\displaystyle{5\choose3}{5\choose 2}}{\displaystyle{10 \choose 5}}.$$