derivar la serie de Maclaurin utilizando fracciones parciales.

Question

Derivar la serie de Maclaurin para la función $(x^3+x^2+2x-2)/(x^2-1)$ utilizando fracciones parciales y una serie conocida de Maclaurin.

pregunta. ¿Cómo puedo utilizar las fracciones parciales en este caso? ¿Es este caso el especial? por favor, dame una pista. gracias.

Answer 1

Utilizando división larga polinómica :

$$\frac{(x^3+x^2+2x-2)}{(x^2-1)}=x + 1 + \frac{3x-1}{x^2-1}$$

Para descomposición parcial de la fracción Si no se puede encontrar un denominador común para dos fracciones, hay que pensar en ello como la inversa: primero hay que factorizar el denominador: $$x + 1 + \frac{3x-1}{x^2-1} = x + 1 + \frac{3x-1}{(x - 1)(x+ 1)}$$

A continuación, dividimos la fracción en la suma de dos fracciones parciales, estableciendo la descomposición para resolver las constantes $A$ y $B$ : $$x + 1 + \frac{3x-1}{(x - 1)(x+ 1)} = \frac A{x-1} + \frac B{x + 1}$$

Ahora, sabemos que $$A(x+1) + B(x - 1) = (A + B)x + (A - B) = 3x - 1 $$ $$\iff A+ B = 3 \;\; \text{and}\;\; A - B = -1$$

Así que la resolución del sistema de ecuaciones en $A, B$ : $$A = B - 1 \implies 2B - 1 = 3 \iff B = 2 \implies A = 1$$

Utilizando estos valores, tenemos que $$\frac{(x^3+x^2+2x-2)}{(x^2-1)}=x + 1 + \frac 1{x-1} + \frac 2{x + 1}$$

Con la práctica, la descomposición de fracciones parciales se hace más fácil (como cualquier otra habilidad), y hay "atajos" que se aprenden en el camino que pueden simplificar el proceso.

Answer 2

SUGERENCIA:

Por división real, $$\frac{(x^3+x^2+2x-2)}{(x^2-1)}=x+1+\frac{3x-1}{x^2-1} $$

Uso de la fracción parcial Descomposición , $$\frac{3x-1}{x^2-1}=\frac A{x+1}+\frac B{x-1}$$

Answer 3

Realizar una división larga polinómica

para concluir que

$$\frac{x^{3}+x^{2}+2x-2}{x^{2}-1}=x+1+\frac{3x-1}{x^{2}-1}=x+1+\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}.\tag{1}$$

La teoría de las fracciones parciales garantiza que existen constantes $A$ y $B$ tal que

$$\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.\tag{2}$$

Puede encontrar las constantes en $(2)$ por varios métodos, uno de ellos es el siguiente:

(a) Hacer, por ejemplo $x=0$ a ambos lados de $(2)$

$$\frac{-1}{-1}=\frac{A}{-1}+\frac{B}{1}\Leftrightarrow B=A+1\tag{3}.$$ Por lo tanto, $$\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{A+1}{x+1}.\tag{4}$$ (b) Hacer, por ejemplo $x=1/2$ a ambos lados de $(4)$ $$\frac{3/2-1}{(1/2-1)(1/2+1)}=\frac{A}{1/2-1}+\frac{A+1}{1/2+1}\Leftrightarrow A=1.\tag{5}$$ Por lo tanto, $B=2$ y $$1+x+\frac{3x-1}{(x-1)(x+1)}=1+x+\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}.\tag{6}$$

Utilice las expansiones de la serie Maclaurin para $\frac{1}{x-1}$ y $\frac{1}{x+1}$ en $(6)$

$$\frac{1}{x-1}=-\frac{1}{1-x}=-\sum_{n=1}^{\infty }x^{n-1},\quad \frac{1}{x+1}=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}x^{x-1},$$ $$\tag{7}$$ ambas derivadas de la suma de las series geométricas

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=1}^{\infty }x^{n-1},\qquad (|x|<1).\tag{8}$$