La ecuación geodésica se deriva de la ecuación de Euler-Lagrange, que (según tengo entendido) es una condición necesaria pero no suficiente para asegurar que la geodésica sea un mínimo.
Los libros introductorios de GR que he examinado no se preocupan por la suficiencia.
¿Cómo sabemos con seguridad que la geodésica es un mínimo y no un máximo o una inflexión?
En general, la geodesics son "puntos estacionarios", lo que significa que cumplen con el correspondiente de Euler-Lagrange las ecuaciones. Esta condición es más importante que ser un mínimo o un máximo o un punto de silla o algunos marginal de la situación de inflexiones. Un mínimo etc. es una combinación de la condición fundamental especificado por el de Euler-Lagrange las ecuaciones; y algún tipo de desigualdad para la matriz de segunda funcionales derivados.
Geodesics en los espacios con la forma positiva definida Euclidiana firma – no spacetimes! – tienden a ser los mínimos de la longitud adecuada.
En el espacio-tiempo de Minkowski, casi todos los timelike geodesics son en realidad maxima en lugar de los mínimos del buen tiempo medido a lo largo de la geodesics. Eso es fácil de ver: cualquier otro timelike curva que conecta los dos puntos finales está más cerca de ser null (cuyo momento es igual a cero), por lo que su adecuado del tiempo es más corto que el tiempo a lo largo del camino recto (el gemelo que se queda en casa en la paradoja de los gemelos serán mayores). Esto se generaliza a la curva de Minkowski-firma el espacio-tiempo, demasiado: se puede ver que si se divide la larga trayectoria curva a muchas de las piezas debido a que cada pedazo de facto sigue las mismas reglas de los caminos en un espacio plano.
Sin embargo, spacelike geodesics son puntos de silla. Las perturbaciones de la línea geodésica en la transversal spacelike las indicaciones de la longitud correcta más, mientras que las perturbaciones de la línea geodésica en el timelike dirección transversal son más cortos.
Null geodesics realmente no puede ser definida de forma única como máximos o mínimos en todo: null curva que conecta los dos puntos finales (y hay infinitamente muchos) tiene la misma longitud, es decir, cero, mientras tanto timelike y spacelike curvas son "más tiempo" a pesar de que la unidad de longitud difiere por un factor de $i$. Relativamente a algunas variaciones, null geodesics probablemente será inflexiones. En ese caso, la correspondiente Euler-Lagrange las ecuaciones son la única manera simple para describir lo especial acerca de una geodésica relativamente cercanos a las rutas.
Los párrafos anteriores fueron unos "mínimos vs maxima vs puntos de silla". Hay una pregunta más, si los puntos estacionarios pueden ser globales mínimos o máximos. Puntos de silla no puede ser "global", por lo que esta posibilidad sólo es relevante para timelike geodesics. En muchos casos, "cerca" de las líneas rectas en un plano de los espacios y situaciones comparables en el espacio curvo, la geodésica es un máximo global de la época apropiada a lo largo de la curva. En general suficiente spacetimes, nada de eso se puede decir.
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