Esto es sólo por diversión! El título lo dice todo. Probablemente es una pregunta muy difícil.
Hasta el $40,000^{th}$ primer $(479909)$, lo he encontrado sólo $5$, $71$ y $369119$ con esta propiedad. Alguien con mejor hardware que me podría tener mejor suerte!
Edit: Sivaram Ambikasaran que se ha comprobado que estos son los únicos a a $10^8$, es decir, hasta el $5761455^{th}$ prime (ver los comentarios).
(Aquí es una muy ingenuo heurístico: si suponemos que la suma de $S_n$ de los primos de menos de $p_n$ distribuidos en forma aleatoria mod $p_n$, será divisible por $p_n$ con una probabilidad de $1/p_n$. Por lo tanto la función de $f$ dada por
$$f(n) = \begin{cases} 1, & \text{ if } p_n \mid S_n, \\ 0, &\text{ otherwise.} \end{cases}$$
debe tener el valor esperado $1/p_n$, y por lo tanto, me gustaría esperar la serie $\displaystyle\sum_{n\geq 1}f(n)$ a divergir muy lentamente, como la suma de los recíprocos de los números primos, que es aproximadamente de $\log \log n$... pero, de nuevo, tal argumento es más o menos inútiles.)
Saludos!
