Operación tensorial en un espacio vectorial

Question

A partir de las distintas definiciones proporcionadas en el artículo https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor El tensor parece estar siempre definido, incluso en las formas más abstractas, como un mapa multilineal, desde un producto de espacios vectoriales y duales al campo subyacente.

Sin embargo, en la matemática aplicada, uno se encuentra a menudo con un tensor cuando se usa en la forma que mapea elementos de espacios vectoriales y duales a elementos de espacios vectoriales y duales, así, por ejemplo:

$\theta^j=\mu_l^j dx^l$

En el artículo no se define ninguna operación entre un tensor y un vector dual, que da un vector dual. Pero como se definen otras operaciones sobre los tensores, en realidad la notación anterior debe leerse en dos pasos:

1. un producto tensorial: $\mu_l^j dx^k$
2. seguido de una contracción de los índices $k$ et $l$

Answer 1

Parece que estás confundido por cuestiones de notación. Con un poco de suerte puedo desconfigurarte, con menos suerte tu confusión puede aumentar ;-)

Normalmente, en la geometría diferencial clásica, se escribiría algo como $\mu^j_l dx^l\otimes \frac{\partial}{\partial x^j}$ para definir localmente un $(1,1)$ tensor o campo tensorial. El $\mu_l^j$ son sólo los coeficientes, el $dx^l$ forman una base del espacio cotangente y el $\frac{\partial}{\partial x^j} $ una base del espacio tangente. Los productos tensoriales $dx^k \otimes \frac{\partial}{\partial x^j}$ forman una base del espacio de $(1,1)$ tensores. El $\theta^j$ de tu ejemplo son sólo coeficientes de un campo vectorial, los vectores base se omiten por alguna razón.

Si $v= v^j \frac{\partial}{\partial x^j}$ es, en este formalismo, un campo vectorial y $\omega = \omega_k dx^k$ un formulario, entonces puede mirar el $(1,1)$ campo tensorial $v\otimes \omega$ con coeficientes $ v^j\omega_k$ . Redactado de forma más explícita, el $(1,1)$ campo tensorial es

$$v\otimes \omega= \omega_k v^j dx^k \otimes \frac{\partial}{\partial x^j}$$

Esto es sólo escribir un campo tensorial en una representación de base local. Aplicar una contracción a ese campo tensorial significa como insertar el campo vectorial $v^j\frac{\partial}{\partial x^j}$ en la única forma $\omega_kdx^k$ resultando en la suma $v^j\omega_j$ ya que $dx^j(\frac{\partial}{\partial x^k})=\delta^j_k$ es sólo un escalar. En una notación libre de coordenadas se escribiría $$ C(v\otimes \omega) = \omega(v)$$ ( $C$ denotando contracción) es decir, se aplica el funcional lineal al vector.

Un general $(1,1)$ se escribe, localmente, como $\mu^j_k\frac{\partial}{\partial x^j}\otimes dx^k$ Aplicar esto a un formulario $\sigma_k dx^k$ resulta en una forma $$\mu^j_k \sigma_j\frac{\partial}{\partial x^j}\otimes dx^k \otimes dx^j = \mu^j_k\sigma_j dx^k$$

Answer 2

Sí. Esto es lo que se llama el Convención de suma de Einstein .

(Resulta que creo que, en última instancia, es menos confuso definir los tensores como elementos de productos tensoriales de un espacio vectorial y su dual, pero supongo que lo que sea que flote en tu barco).