El campo vectorial limitado tiene un flujo globalmente definido

Question

Dejemos que $X$ sea un campo vectorial en $\mathbb R^n$ y supongamos que $\|X\|$ está acotado, donde la norma se toma con respecto al producto interior euclidiano. Intento demostrar que $X$ tiene un flujo globalmente definido.

Para demostrarlo, bastará con encontrar algunos $\epsilon > 0$ independientemente de $x \in \mathbb R^n$ , de manera que el flujo de $X$ puede definirse en $(-\epsilon , \epsilon)$ para cada $x\in \mathbb R^n$ . Pero, parece que no puedo conseguir tal $\epsilon$ sólo a partir de la hipótesis de acotación. ¿Existe una prueba sencilla de este hecho?

Answer 1

Estoy asumiendo que $X$ es localmente Lipschitz. Fijar $x_0\in\mathbb{R}^N$ y $t_0\in\mathbb{R}$ y supongamos que $x(t_0)=x_0$ , donde $x:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}^N$ satisface $$x'(t)=X(x(t))$$

y $(\alpha,\beta)$ es el intervalo máximo de definición de $x$ . Supongamos, por ejemplo, que $\beta<\infty$ y recuerda que $$x(t)=x_0+\int_{t_0}^t X(x(\tau))d\tau$$

Utilizando la acotación de $X$ podemos concluir que $$\|x(t)-x(s)\|\leq \|X\||t-s|$$

La última desigualdad implica que $x$ es uniformemente continua en $(\alpha,\beta)$ . Pero entonces es posible ampliar $x$ a $\beta$ porque $\beta<\infty$ que es un absurdo.