¿Qué es la formulación diferencial-geométrica de las teorías de campo?

Question

Entiendo que en mecánica clásica, un sistema con $N$ grados de libertad se modela mediante un $N$ dimensional llamado espacio de configuración. A continuación, examinamos los haces tangente y cotangente, que constituyen el escenario de la dinámica del sistema. A continuación definimos el Lagrangiano y el Hamiltoniano que son mapas suaves del haz tangente y cotangente respectivamente y entonces podemos derivar las ecuaciones de movimiento de este sistema.

Intento hacer una analogía con la teoría de campos pero no sé cómo porque me parece que el planteamiento cambia algo en las teorías de campos (a no ser, claro, que esté terriblemente confundido).

Los campos se definen típicamente como secciones suaves sobre el espaciotiempo y, por supuesto, los campos tienen infinitos grados de libertad, así que supongo que el espacio de configuración de los campos debería considerarse como un colector de dimensiones infinitas. Ahora bien, supongo que aún se pueden construir haces tangentes y cotangentes a variedades de dimensión infinita, de modo que ¿el lagrangiano y el hamiltoniano siguen definiéndose de forma similar?

Mi pregunta es si estoy pensando correctamente. Si es así, me pregunto cuál es exactamente la relación entre la variedad espaciotemporal (sobre la que se definen los campos) y el espacio de configuración de los campos. Por ejemplo, si consideramos el campo electromagnético que es un $(2,0)$ campo tensorial antisimétrico, es el espacio de configuración el espacio de todos los $(2,0)$ campos tensoriales antisimétricos sobre el espaciotiempo?

Le agradecería mucho una explicación detallada porque me siento terriblemente confundido.

Answer 1

La forma moderna de abordar esta cuestión, a la que se suele hacer referencia mediante la bicomplejo variacional -- es considerar principalmente la paquete jet del haz de campos, en lugar del espacio infinito-dimensional de secciones del haz de campos. El haz infinito-jet es en sí mismo ligeramente infinito-dimensional, pero si la densidad de tu Lagrangiano depende sólo de un orden finito $n$ de derivadas de campos (como hace la mayoría) entonces puede considerar sólo el orden $n$ que es una variedad de dimensión finita.

Todo el cálculo variacional que los libros de texto tradicionales realizan en el espacio infinito-dimensional de secciones del haz de campos puede realizarse de forma equivalente en este haz de chorros finito-dimensional. Y de hecho mejor, ya que la formulación del haz de jets permite trabajar estrictamente a escala local. Por ejemplo, la regla habitual para determinar la derivada variancional de Euler-Lagrange variando un funcional en un espacio de dimensiones infinitas, luego integrando por partes y luego descartando los términos de frontera, todo esto se capta perfectamente en el haz de chorros simplemente aplicando la antigua diferencial de De Rham en el haz de chorros y descomponiendo el resultado en la pieza proporcional a la diferencial vertical de un chorro 0 y una pieza horizontalmente exacta.

Un buen libro de texto que lo explica es

Ian Anderson, El bicomplejo variacional , ( pdf )

Hay más información sobre cómo funciona en mi artículo de PhysicsForums-Insights: Geometría Precuántica Superior II: El Principio de Acción Extrema

Answer 2

La formulación geométrica típica de las teorías de campo no es del todo análoga al enfoque simpléctico adoptado para la mecánica clásica. Como señalas, en la mecánica clásica, cuando se considera una colección finita de partículas, se modela cada grado de libertad por una dimensión en el espacio de fase correspondiente (que suele ser el haz cotangente de la variedad que parametriza las posiciones de las partículas, por ejemplo. $\Bbb R^{3n}$ para $n$ partículas que se mueven en $\Bbb R^3$ ).

También observas correctamente que un enfoque análogo para las teorías de campo tendría que funcionar con infinitas dimensiones: De hecho, tendría que haber incontables. No conozco ningún marco matemático que intente que esta analogía funcione: Ciertamente, hay que enfrentarse a algunos problemas técnicos cuando se intenta trabajar con este tipo de variedades, pero no sé si pueden superarse o se han superado. Sin embargo, hay enfoques completamente diferentes para una formulación matemática de la teoría de campos.

Un campo escalar simple que vive en una variedad (espaciotemporal) $M$ puede modelarse como un mapa (suave) $M\to \Bbb R^n$ o $\Bbb C^n$ y la acción es simplemente un funcional sobre el espacio de dichos mapas. Sin embargo, estas situaciones sencillas no suelen tener tanto interés desde el punto de vista geométrico.

Las cosas se ponen mucho más interesantes (¡y difíciles!) cuando se consideran las teorías gauge. Una teoría con grupo gauge $G$ puede formalizarse considerando un $G$ -sobre la variedad $M$ y los campos gauge se realizan como conexiones principales en dichos haces. El punto de vista de los físicos, en el que se considera que los campos gauge viven en $M$ puede recuperarse utilizando secciones locales del haz: Al recuperar una conexión mediante una sección se recupera la forma física habitual de pensar en los campos gauge. La "intensidad de campo" corresponde a la curvatura de una conexión. Además de los campos gauge, también se pueden añadir campos escalares o espinores para hacer las cosas aún más interesantes. Las matemáticas que subyacen a las teorías gauge (clásicas) son extremadamente ricas y subyacen a varios avances recientes en geometría diferencial; no intentaré dar una explicación más detallada, pero estaré encantado de indicarle algunas referencias si está interesado.