La regla de l'Hôpital y los límites multivariables

Question

Decidí publicar otro mensaje sobre este problema porque todavía no lo entendía del todo: ¿Puede alguien darme un ejemplo de la función $f(x,y),g(x,y)$ por lo cual: $ \lim\limits_ {r \to 0^+} \dfrac {f(r \cos \theta , r \sin \theta ) }{ g(r \cos\theta , r \sin \theta )} = \dfrac {0}{0}$ y $ \lim\limits_ {r \to 0^+} \dfrac { \frac { \mathrm df(r \cos \theta , r \sin \theta )}{ \mathrm dr} }{ \frac { \mathrm dg(r \cos\theta , r \sin \theta )}{ \mathrm dr} } = C $ por alguna constante $C$ pero el límite real $ \lim\limits_ {(x,y) \to (0,0)} \dfrac {f(x,y)}{g(x,y)}$ no existe en absoluto?

Todo lo que necesito es un ejemplo de un caso en el que la regla de l'Hôpital para los límites multivariables cuando aparece en coordenadas polares no es útil (la razón por la que tal ejemplo debe existir es porque $ \theta $ también puede depender de $r$ pero cuando se usa la regla del Hospital, no se puede $r$ consideramos $ \theta $ para ser una constante... ).

Espero que alguien pueda ayudarme esta vez.

Gracias de antemano.

Sólo para aclarar las cosas... Esto no es una pregunta de deberes... Sólo es algo en lo que he pensado...

Answer 1

El ejemplo clásico de una función que es continua a lo largo de las líneas pero discontinua lo hará, si permite repetir L'Hôpital: $$f(x,y)=x^2y \quad\text{and}\quad g(x,y)=x^4+y^2\,.$$ Así, en coordenadas polares, parece $\dfrac{r^3(...)}{r^2(...)}$ y enfoques $0$ como $r\to 0$ (con $\theta\ne 0,\pi$ ).

Recordemos que si dejamos que $y=cx$ entonces $$\frac{f(x,cx)}{g(x,cx)} = \frac{cx^3}{x^4+c^2x^2} =\frac{cx}{c^2+x^2}\to 0 \quad\text{as }x\to 0\,,$$ a menos que $c=0$ pero ese caso es fácil de manejar directamente. Por otro lado, si dejamos que $y=x^2$ entonces $$\frac{f(x,x^2)}{g(x,x^2)} = \frac{x^4}{x^4+x^4} = \frac12 \quad\text{for all }x\ne 0\,,$$

Si quieres que una sola aplicación de L'Hôpital lo haga, probemos $$f(x,y) = x|y|^{1/2} \quad\text{and}\quad g(x,y)=x^2+|y|\,.$$

El mismo tipo de análisis funciona aquí: A lo largo de $y=cx$ , $\dfrac{f(x,cx)}{g(x,cx)} \to 0$ y a lo largo de $y=x^2$ , $\dfrac{f(x,x^2)}{g(x,x^2)}=\dfrac{|x|}{x} = \pm 1$ .

Creo que si su límite $C\ne 0$ y $f(r,\theta)$ y $g(r,\theta)$ son realmente funciones diferenciables, entonces tu resultado funciona, porque tendremos $$f(r,\theta) = arh(\theta) + o(r) \quad\text{and}\quad g(r,\theta)=brk(\theta) + o(r)\,,$$ a partir de la cual tendremos $$\frac{f(r,\theta)}{g(r,\theta)} = \frac{a r h(\theta) + o(r)}{b r k(\theta) + o(r)} \to \frac{ah(\theta)}{bk(\theta)}\,;$$ si se trata de una constante $C$ Debemos tener $h(\theta) = k(\theta)$ Y funciona.