Calcula la masa de la pelota $x^2+y^2+z^2=1$ con densidad de puntos $e^x+e^y+e^z$

Question

Me piden en un ejercicio que calcule la masa de la pelota $x^2+y^2+z^2=1$ con una densidad de $e^x+e^y+e^z$ en un punto determinado. Hasta ahora sólo hemos aprendido la integración triple con coordenadas cartesianas, así que estoy tratando de establecer una integral triple utilizando éstas. Pero me he quedado atascado al ver cómo quiero plantear la integral.

Mi primer pensamiento fue que debería tener una coordenada, digamos z, que vaya de $-1$ a $1$ y de $-\sqrt{1-z^2}$ a $\sqrt{1-z^2}$ y x de $-\sqrt{1-y^2-z^2}$ a $\sqrt{1-y^2-z^2}$ . Pero la integral resultante resultó ser difícil de calcular y la respuesta parece errónea.

Cualquier consejo será apreciado :). Gracias.

Answer 1

Una forma de simplificar las cosas es observar que la integración es lineal y que la región es simétrica bajo permutaciones de $x$ , $y$ , $z$ , por lo que la respuesta será $3$ veces la integral de $e^x$ sobre el balón. Cortar la pelota en un determinado $x$ y se obtiene un disco de radio $\sqrt{1-x^2}$ . Esto reduce el cálculo a $$ 3 \int_{-1}^1 \pi (1-x^2) e^{x}\ dx$$

Answer 2

$$M = \int_{V} (\exp(x) + \exp(y) + \exp(z)) dx dy dz = 3 \int_V \exp(x) dxdydz$$ $$\int_V \exp(x) dxdydz = \int_{x=-1}^{x=1} \int_{y=-r(x)}^{y = r(x)} \int_{z=-\sqrt{r(x)^2-y^2}}^{z = \sqrt{r(x)^2 - y^2}} \exp(x) dz dy dx$$ donde $r(x) = \sqrt{1-x^2}$ $$\int_V \exp(x) dxdydz = \int_{x=-1}^{x=1} \int_{y=-r(x)}^{y = r(x)} 2 \sqrt{r(x)^2-y^2} \exp(x) dy dx = \int_{x=-1}^{x=1}\exp(x) \pi r(x)^2 dx\\ = \pi\int_{x=-1}^{x=1}\exp(x) (1-x^2) dx = \frac{4 \pi}{e}$$ Por lo tanto, la masa es $$\dfrac{12 \pi}{e}$$