¿Por qué el Teorema de Convergencia Dominada no es aplicable en este caso?

Question

Supongamos que$\omega$ se distribuye uniformemente sobre$(0,1]$. Defina variables aleatorias$$X_n:=n\mathbf{1}_{(0,1/n]}.$ $ Obviamente,$X_n\rightarrow X=\mathbf{0}$ y$\lim_{n}E[X_n]$ no es igual a E [X]. En este caso, el Teorema de convergencia dominada (DCT) no se aplica aquí.

Me preguntaba cómo mostrar que no pudimos encontrar una Y varible al azar integrable (es decir,$E[|Y|]<\infty$) tal que$|X_n| < |Y| \;a.e.$

Al principio creo que si$Y$ es integrable, entonces debería estar esencialmente limitado. Pero después descubrí que no era cierto. Entonces me estancé ...

Answer 1

Considere$f=\max\limits_{n\in\mathbb{N}}n\mathbf{1}_{(0,1/n]}$, que viene dado por $$ f (x) = \begin{array}{}n&\text{if }x\in\left(\frac1{n+1},\frac1n\right]\end {array} $$ Este sería el candidato más pequeño para una función dominante.

Sin embargo, observe que $$ \ int _ {\ frac1 {n +1}} ^ {\ frac1n} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ frac1 {n +1} $$ Así, $$ \ int_0 ^ 1f (x) \, \ mathrm {d} x $$ diverge ya que la serie Harmonic diverge.