$FTC$ pregunta, ¿qué es $\frac d{dx} \int_{e^{-x}}^x \ln(t^2+1)dt$ ?

Question

Todavía se está trabajando en algunos aspectos básicos Teorema fundamental del cálculo problemas y me gustaría saber si lo que hago es correcto cuando evalúo algo como $$\frac d{dx} \int_{e^{-x}}^x \ln(t^2+1)dt$$ Creo que esto requiere tanto $$\int_a^b f(x)dx = \int_c^b f(x)dx-\int_c^a f(x)dx = F(b)-F(a)$$ y $$\frac d{dx} \int_a^x f(t)dt=f(x)$$ que me da $$\frac d{dx} \int_{e^{-x}}^x \ln(t^2+1)dt = \frac d{dx} \left[\int_{e^{-x}}^c \ln(t^2+1)dt + \int_c^x \ln(t^2+1)dt\right]$$ $$= \frac d{dx} \left[\int_c^x \ln(t^2+1)dt - \int_c^{e^{-x}} \ln(t^2+1)dt\right]= \ln \left(\frac {x^2+1}{e^{-2x}+1}\right)$$ La forma en que lo veo desde $\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a)$ ¿podría hacerlo directamente así? $$\frac d{dx} \int_{e^{-x}}^x \ln(t^2+1)dt = \frac d{dx} \left[F(x)-F(e^{-x})\right]$$ $$= f(x)-f(e^{-x}) = \ln \left(\frac {x^2+1}{e^{-2x}+1}\right)$$ En términos generales, ¿puedo hacer siempre lo siguiente? $$\frac d{dx} \int_{x_1}^{x_2} f(t)dt = \frac d{dx}\left[F(x_2)-F(x_1)\right] = f(x_2)-f(x_1)$$ ¿o sería abusar de la definición?

Gracias por tomarse el tiempo de responder, me ayuda mucho y lo aprecio mucho.

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Editar (correcciones)

Como se señala en Arte simplemente bello El comentario de la Sra. G., debería aplicar la regla de la cadena, por lo que $$\frac d{dx} \int_{e^{-x}}^x \ln(t^2+1)dt = F'(x)-F'(e^{x})\frac d{dx}e^{-x} = \ln(x^2+1) + \frac{\ln(e^{-2x}+1)}{e^x}$$

y de Ethan Bolker la última línea debe cambiarse por $$\frac d{dx} \int_{g(x)}^{h(x)} f(t)dt = \frac d{dx}\left[F(h(x)) - F(g(x))\right] =f( h(x))h'(x) - f(g(x))g'(x)$$

Answer 1

Si lees con atención la última línea, podrás comprobar que abusa de la notación (no de la definición). No hay nada en esa línea que diga $x_1$ y $x_2$ dependen de $x$ . De hecho la integral es sólo un número, y su derivada es $0$ .

Para calcular algo como $$ \frac{d}{dx}\int_c^{x^2} f(t)dt $$ necesitas $$ \frac{d}{dx} F(x^2). $$ Que se termina con la regla de la cadena.