$CL(O_S) \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$.

Question

Deje $F = \mathbb{Q}(T)$ y deje $X$ ser el conjunto de todos los lugares de $F$, y deje $S = \{w\} \subset X$ donde $w$ es el lugar de $F$ correspondiente a la máxima ideal $(T^3 - 2)$$\mathbb{Q}[T]$. Vamos $$O_S = \{f \in F: \text{ord}_v(f) \ge 0 \text{ for all }v \in X \setminus S\}$$$$= \{f(T)/(T^3 - 2)^n : n \ge 0,\text{ }f(T) \in \mathbb{Q}[T],\text{ grados}(f(T)) \le 3n\}.$$ How do I show that $\texto{Cl}(O_s) \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$?

Answer 1

Definir el grado de valoración de $v\in X$ a ser el grado del residuo campo de $v$$\mathbb{Q}$. (Es igual al grado de la correspondiente polinomio irreducible para finitos valoraciones), a Continuación, puede verse fácilmente que un divisor $D=\sum n_i v_i$ es principal (es decir, de la forma $\mathrm{div}(f)$ algunos $f\in \mathbb{Q}(T)^*$ ) iff $\mathrm{deg}(D) := \sum n_i \mathrm{deg}(v_i) = 0.$

Ahora $Cl(O_S)$ es igual al espacio de los divisores en $X\backslash S$ modulo $\{\mathrm{div}_{X\backslash S}(f) = \sum_{v\in X\backslash S}v(f).v: f\in \mathbb{Q}(T)^*\}$. Pero está claro que es un divisor $D$ $X\backslash S$ es de la forma $\mathrm{div}_{X\backslash S}(f)$ fib es una restricción de un director de divisor en $X$, lo que a su vez es equivalente a la existencia de un número entero $n$ s.t. $0=\mathrm{deg} (D+n w) =\mathrm{deg} D+ 3n $. Así que grado mod 3 da un isomorfismo entre el$Cl(O_S)$$\mathbb Z/3\mathbb Z$.