Encontrar el número de subgrupos de $\mathbb{Z}_{p^3} \oplus \mathbb{Z}_{p^2} $ .

Question

¿Cuál es el número de subgrupos de $\mathbb{Z}_{p^3} \oplus \mathbb{Z}_{p^2} $ ?

No estoy muy seguro de cómo resolverlo. He intentado ver subgrupos de cada $\Bbb Z_{p^n}$ pero no estoy seguro de que vaya a conseguirlos todos.

Answer 1

El grupo dado es $\mathbb{Z}_{p^3} \oplus \mathbb{Z}_{p^2}$ . Utilizaremos la fórmula $$ |(m,n)|=lcm(|m|,|n|),$$ para cualquier $ m \in \mathbb{Z}_{p^3}$ et $n \in \mathbb{Z}_{p^2}$ , donde $|.|$ denotan el orden .

Desde $m,n$ son los elementos de $\mathbb{Z}_{p^3}$ et $\mathbb{Z}_{p^2}$ respectivamente, tenemos $ |m| $ divide $ p^3$ et $|n|$ divide $p^2$ .

(i) Demuestre que sólo hay un subgrupo de orden $ \mathbb{Z}_{p^3} \oplus \mathbb{Z}_{p^2}$ isomorfo a $ \mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}_p$ .

En este paso calculamos el número de elementos $(m,n)$ de orden $p$ . Se puede comprobar fácilmente que hay $p^2-1$ elementos que tienen orden $p^2$ . Todos estos $p^2-1$ junto con el elemento de identidad $(0,0)$ forman un único subgrupo de orden $p^2$ que es isomorfo a $\mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}_p$ .

(ii) Demuestre que hay $p^2+p$ subgrupo de $ \mathbb{Z}_{p^3} \oplus \mathbb{Z}_{p^2}$ isomorfo a $ \mathbb{Z}_{p^2}$ .

En este paso contaremos el número de subgrupos cíclicos de orden $p^2$ . En otras palabras, tenemos que encontrar todos los elementos $(m,n)$ del grupo $ \mathbb{Z}_{p^3} \oplus \mathbb{Z}_{p^2}$ tener orden $p^2$ . Para ello debemos encontrar

$(a)$ todos los elementos $(m,n) \in \mathbb{Z}_{p^3} \oplus \mathbb{Z}_{p^2}$ , de tal manera que $|m|=p^2 \in \mathbb{Z}_{p^3}$ ,

$(b)$ todos los elementos $(m,n) \in \mathbb{Z}_{p^3} \oplus \mathbb{Z}_{p^2}$ , de tal manera que $|n|=p^2 \in \mathbb{Z}_{p^2}$

De parte $(a)$ y parte $(b)$ Intenta demostrar que hay un total $p^4-p^2$ elementos de orden $p^2$ y cada orden de grupo cíclico $p^2$ tiene $p^2-p$ elementos de orden $p^2$ .

Por tanto, el número de subgrupos cíclicos de orden $p^2$ es igual a $\frac{p^4-p^2}{p^2-p} =p^2+p$ .

Así, hay un total de $p^2+p+1$ subgrupos del grupo $ \mathbb{Z}_{p^3} \oplus \mathbb{Z}_{p^2}$ de orden $p^2$ .

Answer 2

Para responder a la pregunta completa es útil saber que, en un grupo abeliano finito, el número de subgrupos de orden $n$ es igual al número de índices $n$ para cualquier $n$ . Esto es básicamente porque los grupos abelianos finitos $G$ son isomorfos a sus grupos duales ${\rm Hom}(G,{\mathbb C}^\times)$ y los subgrupos del grupo corresponden a cocientes del dual.

Así que la respuesta final es $2(1 + (p+1) + (p^2+p+1)) = 2p^2+4p+6$ .