¿Cómo encontrar una curva específica si no se da el valor inicial?

Question

Pregunta:

Deje $y(x)$ ser la solución de la ecuación diferencial

$x\cdot ln(x)\dfrac{dy}{dx}+y=2x\cdot ln(x)$, $x\ge1$.

Encontrar $y(e)$.

Respuesta: $y(e) = 2$

Problema:

Así que yo entiendo que este se puede convertir en una simple ecuación diferencial lineal y se encontró que la solución es:

$y\cdot ln(x)=2(x\cdot ln(x) - x) + C$

Esta es una familia de curvas. Sin embargo, para la solución de la pregunta, necesito una curva específica de todos estos. Lo que no entiendo es ¿cómo hago para encontrar la curva particular como el valor inicial de la función no está dado.

Answer 1

Yo diría que la respuesta $y(e) = 2$ es malo si la pregunta es declarado como este.

Has encontrado la correcta solución general de primer orden lineal de la educación a distancia, con una constante de integración $C \in \mathbb{R}$. A partir de esto, usted realmente consigue $y(e) = C$ como William Elliot ha señalado. Por lo tanto, usted puede obtener cualquier valor de $y(e)$, dependiendo del valor de $C$.

La razón por la que la solución particular con $C=2$ es de interés es que es la única solución de esta ODA para que el (lado derecho) límite de $x \searrow 1$ es finito.

Para la solución general $y(x) = \frac{2x(\ln(x)-1)+C}{\ln(x)}$, $C \in \mathbb{R}$, tenemos \begin{equation} \lim_{x \searrow 1} y(x) = \left\{ \begin{array}{ll} -\infty, C < 2\\ 0, C = 2\\ \infty, C > 2 \end{array} \right.. \end{equation} Por lo tanto, si asumimos que el lado derecho del límite de $y(x)$ es finito como $x$ enfoques $1$, entonces sólo queda la solución particular con $C=2$, que satisface $y(e) = 2$.

Pero esta hipótesis necesita ser añadido a la pregunta, de lo contrario la respuesta es incorrecta.