Los dos lados de un triángulo son$\sqrt{3}+1$ y$\sqrt{3}-1$ y el ángulo incluido es$60^{\circ}$. Encontrar otros angulos

Question

Dos lados de un triángulo son a$\sqrt{3}+1$ e $\sqrt{3}-1$ y el ángulo incluido es $60^{\circ}$. Luego de encontrar los otros ángulos

Mi Intento

Deje $a=\sqrt{3}+1$, $b=\sqrt{3}-1$ e $C=60$ $$ c^2=a^2+b^2-2.una.b\cos C\\=(\sqrt{3}+1)^2 +(\sqrt{3}-1)^2-2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1).\frac{1}{2} =8-2=6\\ \implica c=\sqrt{6}=\sqrt{2}\sqrt{3}\\ \frac{a}{\sin Un}=\frac{c}{\pecado C}\implica\sen A=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}\sqrt{3}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\\ A=75^\circ\quad\&\quad B=45^\circ $$

Pero la solución que se dio en mi referencia es $105^\circ$ e $15^\circ$, lo que está mal con mi intento ?

Answer 1

Debido a $\sin(\alpha) = \sin(180-\alpha)$. Por lo tanto, $\sin(75^\circ) = sin(105^\circ)$. Por lo tanto, usted debe calcular el valor de $\sin B$ lugar para especificar uno de ellos. Probablemente, al calcular el valor de ángulo de $B$ obtendrá $165^\circ$ e $15^\circ$, pero como la suma de los ángulos es igual a $180^\circ$, $15^\circ$ será aceptado.

Answer 2

Por ley de cosenos obtenemos: $$\cos\alpha=\frac{(\sqrt3+1)^2+(\sqrt6)^2-(\sqrt3-1)^2}{2(\sqrt3+1)\sqrt6}=\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2},$$ which gives $ \ alpha = 15 ^ {\ circ}$ and from here $ \ beta = 105 ^ {\ circ}. $

Answer 3

Jugando con el ángulo de la suma y la Ley de los Senos ($|\angle A|>|\angle B|$):

$|\angle A|+|\angle B|=120°$

$(\sin A)/(\sin B)=(\sqrt{3}+1)/(\sqrt{3}-1)=2+\sqrt{3}$

Poner $|\angle A|=120°-|\angle B|$ y aplicar la fórmula para el vino de una diferencia:

$((\sqrt{3}/2)(\cos B)-(1/2)(\sin B))/(\sin B)=2+\sqrt{3}$

$(\cos B)/(\sin B)=\cot B = 2+\sqrt{3}$

$\tan B=2-\sqrt{3}$

Entonces

$\tan A = \tan (120°-B)=\dfrac{-\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})}{1+(-\sqrt{3})((2-\sqrt{3}))}=-(2+\sqrt{3})$

A continuación, $\tan A \tan B=-1$ por lo que el ángulo medidas deben diferir por un ángulo recto. Así

$|\angle A|+|\angle B|=120°$

$|\angle A|-|\angle B|=90°$

$|\angle A|=105°, |\angle B|=15°$