$\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(u +n)^2}=\frac{\pi^2}{(\sin \pi u)^2}$

Question

Ya he visto un prueba de Marko Riedel que enumero a continuación:

La forma estándar de tratar estas sumas es integrar $$ f(z) = \frac{1}{(z+\alpha)^2} \pi \cot(\pi z)$$ a lo largo de un contorno consistente en un círculo de radio $R$ y con $R$ hasta el infinito y, por tanto, mayor que $\alpha$ donde el círculo no pasa por los polos del eje real. Ahora a lo largo del semicírculo en el semiplano superior tenemos $$|f(z)| \le \frac{1}{(R-|\alpha|)^2}\pi \left|\frac{e^{i\pi R\exp(i\theta)} + e^{-i\pi R\exp(i\theta)}} {e^{i\pi R\exp(i\theta)} - e^{-i\pi R\exp(i\theta)}}\right|= \frac{1}{(R-|\alpha|)^2} \pi \left|\frac{e^{2i\pi R\exp(i\theta)}+1}{e^{2i\pi R\exp(i\theta)}-1}\right| < \frac{1}{(R-|\alpha|)^2} \pi \frac{1+e^{-2\pi R\sin(\theta)}e^{2i\pi R\cos(\theta)}} {1-e^{-2\pi R\sin(\theta)}e^{2i\pi R\cos(\theta)}}$$ Este último término es claramente $O(1/R^2)$ como $R$ va a infinito a medida que el cociente de las dos exponenciales va a uno ya que $\exp(-R)$ desaparece y no hay singularidad cuando $\theta = 0$ o $\theta = \pi$ como $R\cos\theta = \pm R$ que no es un número entero por la suposición de que el círculo evita los polos y por lo tanto no puede ser uno.

Mi pregunta:
Está claro que para cada $z=Re^{i \theta}$ , $f(z)=O(1/R^2)$ ¿pero puede esto garantizar que el último término en RHS es uniforme limitado? Dado que $\theta$ varía en un intervalo compacto $[0, \pi]$ Quiero demostrar que para cada $ \theta \in [0, \pi]$ y un número positivo fijo $M \gt 1 $ existe una bola abierta que contiene $\theta$ y un $R_{\theta}\gt 0$ para cada $R \ge R_{\theta}$ y $x \in $ el balón abierto $$\frac{1+e^{-2\pi R\sin(x)}e^{2i\pi R\cos(x)}} {1-e^{-2\pi R\sin(x)}e^{2i\pi R\cos(x)}} \le M$$ Para $\theta \neq 0,\pi$ es fácil encontrar el $R_{\theta}$ y el balón abierto , pero si $\theta = 0$ o $ \theta = \pi$ para toda bola abierta que contenga $\theta$ se comporta erráticamente cerca de $\theta$ No tengo ni idea de cómo lidiar con esto.

Answer 1

Como la prueba citada no es satisfactoria, volvemos a intentarlo. Con el objetivo de evaluar

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(u+n)^2}$$

donde $u$ no es un número entero estudiamos la función

$$f(z) = \frac{1}{(u+z)^2} \pi\cot(\pi z).$$

que tiene la propiedad de que con $S$ siendo nuestra suma,

$$S = \sum_n \mathrm{Res}_{z=n} f(z) = \sum_n \frac{1}{(u+n)^2}.$$

Examinamos qué ocurre cuando integramos $f(z)$ a lo largo del rectángulo $$\Gamma =\pm (N+1/2) \pm i N$$ con $N$ un gran positivo entero.

No hay postes en este contorno y viendo que $\frac{1}{(u+z)^2}\in\Theta(1/N^2)$ en el contorno, la integral $$\int_\Gamma f(z) dz$$ llega a cero a medida que $N$ llega hasta el infinito. Este se mostrará a continuación.

Esto implica que la suma de los residuos en los polos de $f(z)$ es cero, dando

$$S + \mathrm{Res}_{z=-u} \frac{1}{(u+z)^2} \pi\cot(\pi z) = 0.$$

El residuo en el doble polo en $z=u$ viene dada por

$$\left.(\pi \cot(\pi z))'\right|_{z=-u} = \left. - \frac{\pi^2}{\sin(\pi z)^2} \right|_{z=-u}$$

de modo que tenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ \sum_n \frac{1}{(u+n)^2} = \frac{\pi^2}{\sin(\pi u)^2}.}$$

Para convencerse de que la integral realmente se desvanece considere la dos líneas $\Gamma_1$ que es $N+1/2\pm iN$ (vertical derecha) y $\Gamma_2$ que es $\pm N+1/2+iN$ (horizontal superior). Con $N$ yendo a infinito podemos suponer que $N\gt 1$ y también $N\gt \max(|\Re(u)|, |\Im(u)|).$

Parametrizamos $\Gamma_1$ con $z=N+1/2+it$ para que $$\left|\int_{\Gamma_1} f(z) dz \right| = \left|\int_{-N}^N f(N+1/2+it) i dt\right|.$$

La norma del término fraccionario alcanza su máximo en $t=0$ cuando cruzamos el eje real donde $|u+z|$ se minimiza, dando un límite superior de la norma que es

$$\frac{1}{(\Re(u)+N+1/2)^2} = \frac{1}{N^2} \frac{1}{(1+(\Re(u)+1/2)/N)^2}.$$

Para la norma del término trigonométrico obtenemos $$|\pi\cot(\pi (N+1/2) + \pi it)| =\pi\left|\frac{e^{i\pi (N+1/2) - \pi t}+e^{-i\pi (N+1/2) + \pi t}} {e^{i\pi (N+1/2) - \pi t}-e^{-i\pi (N+1/2) + \pi t}}\right| \\ = \pi\left|\frac{i(-1)^N e^{- \pi t} - i(-1)^N e^{\pi t}} {i(-1)^N e^{- \pi t} + i(-1)^N e^{\pi t}}\right| = \pi|\tanh(\pi t)|.$$

Obsérvese que con $t$ real $\pi \tanh(\pi t)$ no tiene polos y su está limitada por $\pi$ . Por lo tanto, la norma de la integral a lo largo de $\Gamma_1$ está limitada por

$$2N \times \frac{\pi}{(\Re(u)+N+1/2)^2} \in 2N \times \Theta(1/N^2) = \Theta(1/N)$$

y la integral desaparece cuando $N$ llega hasta el infinito, como se afirma.

Para $\Gamma_2$ parametrizamos con $z = t + i N$ para que $$\left|\int_{\Gamma_2} f(z) dz \right| = \left|\int_{-(N+1/2)}^{N+1/2} f(t+iN) dt\right|.$$

La norma del término fraccionario se minimiza cuando cruzamos el eje imaginario, dando un límite superior a la norma que es

$$\frac{1}{(\Im(u)+N)^2} = \frac{1}{N^2} \frac{1}{(1+\Im(u)/N)^2}.$$

Para la norma del término trigonométrico obtenemos $$|\pi\cot(\pi t + \pi i N)| = \pi\left|\frac{e^{i\pi t - \pi N} + e^{-i\pi t + \pi N}} {e^{i\pi t - \pi N} - e^{-i\pi t + \pi N}}\right| \le \pi\left|\frac{e^{\pi N}+e^{-\pi N}}{e^{\pi N}-e^{-\pi N}}\right| =\pi|\coth(\pi N)|.$$

Aquí tampoco hay polos y este término está delimitado arriba por $\pi\coth(\pi)$ porque $N>1.$ Esto da el siguiente límite para el de la integral a lo largo de $\Gamma_2:$

$$(2N+1) \times \frac{\pi\coth(\pi)}{(\Im(u)+N)^2} \in (2N+1) \times \Theta(1/N^2) = \Theta(1/N)$$

y esta integral también desaparece cuando $N$ llega hasta el infinito, como se afirma.

Los otros dos segmentos de línea pueden delimitarse mediante la misma técnica.