Demostrar la desigualdad $\int_a^{\pi/2}\cos^nxdx\le e^{-na^2/2}\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx$

Question

Cómo demostrar $$\int_a^{\pi/2}\cos^nxdx\le e^{-na^2/2}\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx,$$ donde $n\in\mathbb N$ y $a\in[0,\pi/2]$ ?

Me di cuenta de que si podemos probar $$\cos^na\le nae^{-na^2/2}\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx,$$ aplicar $\displaystyle\int_a^{\pi/2}$ a ambas partes, se llegará a la conclusión. Pero, por desgracia, esta desigualdad anterior no es cierta. Cuando $a=0$ , $LHS=1>0=RHS$ . Además, la fórmula de Wallis puede ayudarnos a encontrar $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^nxdx$ . No estoy seguro de si ayuda.

Answer 1

Sea $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$ y $0\leq a\leq \frac{\pi}{2}$ . Entonces podemos ver $$ \cos(x+a) = \cos x\cos a-\sin x\sin a\leq \cos a\cos x. $$ Sea $$ f(t) = -\frac{t^2}{2} -\ln (\cos t), \quad 0\leq t<\frac{\pi}{2}. $$ Entonces, $f(0) = 0$ y $$ f'(t) = -t +\tan t\geq 0. $$ Así pues, tenemos $$ f(a) \geq 0, $$ y $$ \cos a \leq e^{\frac{-a^2}{2}}. $$ Esto implica $$ \cos^n(x+a) \leq e^{-\frac{na^2}{2}}\cos^n x $$ y por lo tanto $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}-a}\cos^n(x+a)\leq e^{-\frac{na^2}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}-a}\cos^n x\leq e^{-\frac{na^2}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x. $$