La aproximación de la envoltura varía lentamente: ¿qué implica?

Question

Entiendo que la lentitud de variación de la envolvente de aproximación significa que podemos escribir una onda electromagnética como

$$ E(x,t)=V(x,t)e^{i(k_0x-\omega_0 t)},$$

donde $$ \left \vert \frac{dV}{dx} \right \vert \ll |k_0 V(x,t)| \quad \text{and} \quad \left \lvert \frac{dV}{dt} \right \rvert \ll |\omega_0 V(x,t)| \, .$$

Tengo dos preguntas acerca de esta aproximación:

1. Por qué esto implica que la banda de la onda es estrecho?
2. ¿Cuál es el máximo valor de $Δx$, en comparación con $\lambda$, para que $V(x+Δx)≈V(x)$ todavía se mantiene?

Answer 1

1. De banda estrecha-ness

Considerar, como JEB la respuesta, el puro espacio de la dependencia $$ E(x,0)=V(x,0)e^{ik_0x},$$ y vamos a mirar la transformada de Fourier de esta caída de la $t=0$'s para simplificar): \begin{align} \tilde E(k) & = \int E(x)e^{-ikx}\mathrm dx = \int V(x)e^{-i(k-k_0)x}\mathrm dx = \tilde{V}(k-k_0), \end{align} es decir, la frecuencia de espacio de relación es, como se señala por JEB, la convolución de $\tilde V(k)$ y la delta de Dirac, que resulta de la transformación de Fourier $e^{ik_0x}$. Veamos $\tilde V(k)$ más de cerca, aunque, por considerar primero la transformada de Fourier de su derivado $\frac{\mathrm dV}{\mathrm dx}$: \begin{align} \int \frac{\mathrm dV}{\mathrm dx}(x) e^{-ikx}\mathrm dx & = -ik \int V(x) e^{-ikx}\mathrm dx =-ik\tilde V(k), \end{align} suponiendo que el límite de los términos en $V(x)|_{-\infty}^\infty$ se desvanecen. Esto significa, por tanto, que \begin{align} |k\tilde V(k)| & = \left| \int \frac{\mathrm dV}{\mathrm dx}(x) e^{-ikx}\mathrm dx \right| \\ & \ll \left| \int k_0 V(x) e^{-ikx}\mathrm dx \right| = k_0|\tilde V(k)| . \end{align} Tomado en su valor nominal, que es un heck de una afirmación extraña, pero la forma de leer es este: dentro de la banda en la que $|\tilde V(k)|$ es apreciable, usted debe tener $|k|\ll k_0$.

Cuando se aplica a la totalidad del campo eléctrico, entonces se dice que dentro de la banda en la que $|\tilde E(k_0 + \Delta k)|$ es apreciable, debe tener $|\Delta k| \ll k_0$, y este es el preciso significado que le asignamos a $E(x)$ siendo una banda estrecha wavepacket.

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2. $V(x+Δx)≈V(x)$

Su segunda pregunta,

[dado que $|\frac{dV}{dx}|\ll |k_0 V(x,t)|$,] ¿cuál es el máximo valor de $Δx$, en comparación con $\lambda$, para que $V(x+Δx)≈V(x)$ todavía se mantiene?

es más bien difícil, porque ninguna de las declaraciones de los involucrados, $|\frac{dV}{dx}|\ll |k_0 V(x,t)|$ e $V(x+Δx)≈V(x)$, es un duro cuantitativa de la declaración.

Sin embargo, la forma de enfrentar esto es a través de una expansión de Taylor, \begin{align} | V(x+\Delta x) - V(x) | & = |\Delta x \frac{\mathrm dV}{\mathrm dx}(x)| + \mathcal O(\Delta x^2) \\ & \ll |\Delta x \: k_0 V(x)| + \mathcal O(\Delta x^2) \\ & = 2\pi \left|\frac{\Delta x}{\lambda} V(x)\right| + \mathcal O(\Delta x^2) . \end{align} Si usted tiene una declaración cuantitativa de lo que "$\ll$" significa, entonces ya directamente te dan una instrucción para el cambio fraccional en términos de $\Delta x/\lambda$de los desplazamientos que se observan en $V(x)$.

Answer 2

Echemos un vistazo a tiempo fijo:

$$ E(x) = V(x)e^{-ik_0x} \equiv V(x)\phi_{k_0}(x) $$

Escribí $\phi(x)$ a resaltar el hecho de que es un ayuno de modulación de fase de una lenta variación de la función.

Lo hace lentamente variable significa? Esto significa que la transformada de Fourier:

$$ \tilde V(k) = \int{e^{ikx}V(x)dx} $$

tiene su poder a continuación algunos de los $k_V$ que satisface:

$$ ||k_V|| \ll k_0$$

También tiene algo de ancho de banda $\Delta k \approx 2 k_V$ (positiva y negativa de los componentes para un real $V(x)$).

Toda esta condición significa que la longitud de onda de $V(x)$ es mucho más largo que la longitud de onda portadora, $1/k_0$. Cuánto depende de su sistema. Si el microondas en un circuito, entonces usted tiene que mirar en el hardware. Si usted se está resolviendo un problema de valor de frontera, usted tiene que mirar en las condiciones del problema. Un factor de "100" es sin duda bueno, "10" es ACEPTAR, y "2" está empujando.

Como se señaló en los comentarios, a los PIES de un producto es un producto de convolución de la multiplicands' FTs, y:

$$ \tilde \phi(k) = \delta(k_0) $$

Ahora la convolución con un delta de funciones es un cambio de la operación, por lo tanto:

$$ \tilde E(k) $$

parece

$$ \tilde V(k) $$

cambió a partir de la 0 a la frecuencia de la portadora $k_0$.

Por lo tanto, la señal de ancho de banda $\Delta k$ centrado alrededor de $k_0$.

Ahora puedes volver a la "lenta" pregunta diciendo $\Delta k/2 \ll k_0$, lo que significa que todo el poder está en el positivo de frecuencias, que es la misma que la anterior condición, pero la vista ligeramente differenlty. Son equivalentes a las condiciones de la derivada indicada en el OP.

Añadir el tiempo-coordinar la espalda en no cambiar nada, a menos que usted tiene una difícil relación de dispersión.