Definición de momento conjugado en una variedad

Question

Tengo problemas para entender esta definición:

Deje $Q$ ser algunos de los múltiples y $L: TQ \to \mathbb{R}$ una función suave. Luego de algunos coordenadas locales $(q, \dot{q})$ a $TQ$ el conjugado de impulso se define como $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$, lo cual es un elemento de la co-tangencial bundle $T^{*}Q$.

¿Cómo es la expresión de la $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ a ser interpretado? Si uno simplemente expresa $L$ en coordenadas locales por $$L \circ(q^{-1}, \dot{q}^{-1}): \mathbb{R}^{2n} \to \mathbb{R}$$ and differentiates it with respect to the second variable one gets a function $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ and not an element of the co-tangential bundle $T^{*}Q$. Is the correct expression $$\partial_2 ( L \circ(q^{-1}, \dot{q}^{-1}))\circ (q, \dot{q}) \in T^{*}Q\ ?$$

Answer 1

La notación $\partial L/\partial\dot{q}$ no es más que un símbolo que denota la derivada de Frechet $L$ con respecto al $\dot{q}$. Más precisamente, vamos a $$L:Q\times TQ\to\mathbb{R}.$$ A continuación, para todos los $x\in Q$, $T_xQ$ es un espacio vectorial equipado con la norma inducida por la métrica en $Q$. En este sentido, se puede definir un almacén lineal operador $A:TQ\to\mathbb{R}$, de tal manera que $$\lim_{Y\to 0}\frac{\left\|L(x,X+Y)-L(x,X)-A(Y)\right\|_{\mathbb{R}}}{\left\|Y\right\|_{T_xQ}}=0$$ para un determinado $x\in Q$ y un determinado $X\in T_xQ$. Este operador lineal $A$, si existe, se llama la derivada parcial de $L$ con respecto al $X$, también se denota por a$\partial L/\partial X$ para la intuición. Además, si se considera una trayectoria de $q:\mathbb{R}\to Q$, tenemos $\dot{q}:\mathbb{R}\to T_{q}Q$. Por lo tanto, cuando teniendo en cuenta la especial forma de $L(q,\dot{q})$, también tomamos $\partial L/\partial\dot{q}$ en lugar de $\partial L/\partial X$, de nuevo, para la intuición.

Finalmente, cualquiera que sea la notación es asignado al operador definido anteriormente, $A$ o $\partial L/\partial X$ o $\partial L/\partial\dot{q}$, es (1) lineal y (2) de $TQ$ a $\mathbb{R}$. Por otro lado, la colección de todos los operadores lineales de $TQ$ a $\mathbb{R}$ es definitivamente $T^*Q$. Por lo tanto, se deduce que $$Un\T^*Q,\quad\text{o}\quad\frac{\partial L}{\partial X}\T^*Q,\quad\text{o}\quad\frac{\partial L}{\parcial\dot{q}}\T^*P.$$

Espero que esto podría ser útil para usted.