Promedio de una función que sale de una DE complicada

Question

He de encontrar (el promedio de una función sobre un intervalo determinado, donde $t_1>0$, $t_2>0$ e $t_2>t_1$):

$$\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}x(t)dt\tag1$$

Donde $x(t)$ es la solución a la siguiente DE (con condición inicial $x(0)=x_0)$:

$$x(t)\cdot r+x'(t)\cdot l+a\cdot\ln\left(1+\frac{x(t)}{b}\right)=0\space\Longleftrightarrow\space x(t)=\dots\tag2$$

Ahora, de acuerdo a la respuesta de @JJacquelin en mi previuous pregunta, yo podría escribir $x(t)$ como sigue:

$$t=-l\int_{x_0}^{x(t)}\frac{d\xi}{r\xi+a\ln\left(1+\frac{\xi}{b}\right)}\tag3$$

Pero no veo cómo eso puede ayudarme a encontrar a $(1)$?!

Answer 1

El siguiente proporciona una forma implícita de solución problema (este podría ser el más "explícita" la solución a su problema, dado que sólo se conoce la solución implícita de la educación a distancia):

Supongamos que $x(t)$ es monótono en el intervalo de $[t_1,t_2]$ (si no tienes que aplicar el siguiente razonamiento en cada intervalo de tiempo en el que $x(t)$ es monótono. Vamos a cambiar las variables de $x(t)$ a $\xi$. Obtenemos $$\frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2} x(t)\,dt = \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} \frac{\xi}{x'}\,dt =\frac{-l}{t_2-t_1}\int_{x(t_1)}^{x(t_2)}\frac{\xi\,d\xi}{r\xi+a\ln\left(1+\frac{\xi}{b}\right)}\,.$$